Lineární algebra

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Náplní předmětu je standardní úvod do lineární algebry. Jedná se zejména o pojmy lineárního prostoru a lineárního zobrazení, o pojem matice (především matice lineárního zobrazení), o definice operací s maticemi a o pojem inversní matice. Dále budou probrána vlastní čísla lineárních zobrazení a skalární součin. Teorie bude vybudována jak nad reálnými čísly, tak nad obecným tělesem . Teoretické pojmy budou aplikovány na problematiku řešení lineárních soustav, základní úvahy z geometrie a teorie kódů.

Požadavky:

Předmět nevyžaduje prerekvizit. Nutná je však znalost práce s pojmy definice, věta a důkaz.

Předmět předpokládá základní prostorovou představivost a znalost geometrie přímek a rovin ve 3D prostoru.

Osnova přednášek:

1. Lineární prostor, abstraktní vektor, axiomy linearity nad tělesem (reálných čísel a nad obecným tělesem).

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal.

3. Báze, dimenze, souřadnice vektoru v bázi.

4. Lineární zobrazení, algebra matic.

5. Matice a matice lineárního zobrazení, operace s maticemi.

6. GEM a soustavy lineárních rovnic.

7. Permutace a determinanty (jejich geometrický význam).

8. Determinant (rozvoj podle řádku, Cramerova věta, regulární soustavy, inversní matice).

9. Vlastní čísla a vlastní vektory matice resp. lineárního zobrazení, diagonalizace matic.

10. Skalární součin, ortogonalita.

11. Aritmetické vektory nad Z_p a Z_2, řešení soustav lineárních rovnic nad Z_2.

12. Aplikace řešení soustav lineárních rovnic v kódování.

13. Další geometrické aplikace lineární algebry.

14. Rezerva.

Osnova cvičení:

1. Polynomy, kořeny polynomů (nad tělesy reálných a komplexních čísel).

2. Gaussova eliminační metoda, vlastnosti, hodnost matice.

3. Lineární prostory, lineární závislost a nezávislost.

4. Báze, dimenze, souřadnice vektoru v bázi.

5. Lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení.

6. Algebra lineárních zobrazení a algebra matic (operace s maticemi).

7. Matice lineárního zobrazení a transformace souřadnic.

8. GEM a soustavy lineárních rovnic.

9. Determinanty a jejich výpočet, regulární soustavy.

10. Vlastní čísla a vlastní vektory matice resp. lineárního zobrazení.

11. Skalární součin, ortogonalita, Gram-Schmidtův proces.

12. Aritmetické vektory nad Z_p a Z_2.

13. Řešení soustav lineárních rovnic nad Z_2.

14. Rezerva.

Cíle studia:

Naučit studenty teoretické základy lineární algebry a aplikovat je v technické praxi.

Studijní materiály:

- J. Velebil: Abstraktní a konkrétní lineární algebra, http://math.feld.cvut.cz/velebil/akla.html

- J. Hefferon: Linear algebra, Saint - Michael's College, http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/

- P. Pták: Introduction to Linear Algebra. ČVUT, Praha, 2005.

- E. Krajník: Základy maticového počtu. ČVUT, Praha, 2006.

Poznámka:

Další informace:

http://math.feld.cvut.cz/velebil/teaching/bd6b01lag.html

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Softwarové inženýrství a technologie (povinný předmět programu)