Matematika pro bakaláře

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra přírodovědných oborů

Anotace:

Předmět je úvodem do diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné reálné proměnné a lineární algebry.

Diferenciální počet: číselné množiny, posloupnost, vlastnosti, limita posloupnosti, funkce jedné reálné proměnné, limita funkce, spojitost, derivace, lokální a absolutní extrémy funkce jedné proměnné, vyšetřování průběhu funkce, diferenciál funkce, Taylorův polynom.

Lineární algebra: řešení (homogenních a nehomogenních) soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda, vektorový prostor (vlastnosti, příklady, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů, báze a dimenze vektorového prostoru), základy maticového počtu (matice, hodnost matice, operace s maticemi, inverzní matice, determinant a jeho výpočet, vlastní čísla a vlastní vektory matic).

Integrální počet: neurčitý integrál, základní vlastnosti, metoda per partes, substituční metoda, integrování racionální lomené funkce (rozklad na parciální zlomky), určitý integrál, jednoduché geometrické aplikace.

Požadavky:

Podmínky udělení zápočtu

1. Povinná účast na cvičeních, maximálně 3 řádně omluvené absence.

2. Během semestru budou znalosti studentů kontrolovány formou polosemetrálních testů v termínech mimo přednášku i cvičení, termíny testů jsou uvedeny v harmonogramu na stránce předmětu. Podmínkou splnění je minimálně 50 % z každého z nich. Body nad minimum se započítávají ke zkoušce.

Podmínkou připuštění ke zkoušce je zápočet zapsaný v KOSu.

Zkouška je pouze písemná a sestává se z početních příkladů s teoretickými podotázkami. K získaným bodům se přičtou body z testů.

Hodnocení zkoušky je standardní.

Osnova přednášek:

1. Číselné množiny, posloupnosti, vlastnosti posloupností, limita posloupnosti, konvergentní, divergentní posloupnost, reálné funkce jedné reálné proměnné, vlastnosti funkcí, operace s funkcemi, složená funkce, inverzní funkce.

2. Limita a spojitost funkce, pravidla pro výpočet limit, nevlastní limity, limity v nevlastních bodech, vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu.

3. Svislé a šikmé asymptoty grafu funkce. Derivace, pravidla pro výpočet, derivace složené funkce, derivace inverzní funkce, diferenciál a jeho aplikace.

4. L'Hospitalovo pravidlo, derivace vyšších řádů, Taylorův polynom.

5. Lokální a globální extrémy funkce, průběh funkce.

6. Číselné řady, kriteria konvergence, součet řady (Test 1)

7. Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních algebraických rovnic (SLAR).

8. Lineární kombinace vektorů, lineární (ne)závislost skupiny vektorů, lineární obal, lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru, skalární součin vektorů.

9. Matice, různé typy matic, hodnost matice, operace s maticemi, jednotková matice, inverzní matice, matice regulární, singulární.

10. Determinant čtvercové matice, Sarrusovo pravidlo, algebraický doplněk, rozvoj determinantu podle řádku, sloupce, výpočet inverzní matice.

11. Řešitelnost SLAR, Frobeniova věta, ekvivalentní soustavy, struktura obecného řešení SLAR, řešení soustavy s regulární maticí pomocí inverzní matice, Cramerovo pravidlo.

12. Neurčitý integrál, definice, vlastnosti, metody výpočtu (per partes, substituce).

13. Určitý integrál a příklady aplikací určitého integrálu. (Test 2).

14. Integrování racionálních funkcí, rozklad na parciální zlomky.

Osnova cvičení:

1. Opakování elementárních funkcí. Posloupnosti a jejich vlastnosti, výpočet limity posloupnosti.

2. Operace s funkcemi, vlastnosti, skládání funkcí, limita funkce, spojitost, asymptoty grafu funkce, inverzní funkce.

3. Derivace funkce, přibližný výpočet funkční hodnoty pomocí diferenciálu.

4. Intervaly monotonie, lokální extrémy, výpočet limit užitím l'Hospitalova pravidla.

5. Taylorův polynom, konkávnost a konvexnost, globální extrémy.

6. Průběh funkce.

7. Číselné řady a jejich konvergence/divergence.

8. Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních algebraických rovnic.

9. Lineární (ne)závislost skupiny vektorů, lineární obal skupiny vektorů, lineární prostory, báze a dimenze prostoru, podprostoru.

10. Skalární součin, operace s maticemi, výpočet inverzní matice Gauss-Jordanovou eliminací.

11. Výpočet determinantů, inverzní matice, řešení maticových rovnic.

12. Řešení soustavy lineárních rovnic, diskuze řešení podle Frobeniovy věty.

13. Neurčitý integrál, metody integrování, příklady.

14. Určitý integrál, aplikace určitého integrálu. Řešení ukázkových příkladů zkouškových testů.

Cíle studia:

Cílem předmětu je získání teoretických vědomostí a praktických dovedností v základech diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné reálné proměnné a lineární algebry.

Studijní materiály:

[1] J. Neustupa: Matematika I, Skriptum ČVUT, 2006

[2] S. Kračmar, F. Mráz, J. Neustupa: Sbírka příkladů z matematiky 1, Skriptum ČVUT, 2013

[3] J. Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné, skriptum ČVUT, 2004

[4] http://math.feld.cvut.cz/mt/index.htm

[5] http://math.fme.vutbr.cz

[6] http://www.studopory.vsb.cz

[7] http://dagles.klenot.cz/rihova

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Bakalářský studijní obor Plánování a řízení krizových situací - prezenční (povinný předmět)