Numerická matematika 2

Garant předmětu:

Michal Beneš

Přednášející:

Michal Beneš

Cvičící:

Michal Beneš, Tomáš Oberhuber

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu je výklad numerických metod pro řešení okrajových a smíšených úloh pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice. Jedná se o metody převodu okrajové úlohy na počáteční a metodu konečných diferencí pro eliptické, parabolické a hyperbolické parciální diferenciální rovnice.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, 01NM).

Osnova přednášek:

I.Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic - okrajové úlohy

1.Metoda střelby

2Metoda přesunu okrajové podmínky

3.Metoda sítí

4.Řešení nelineárních rovnic

II.Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu

1.Metoda sítí pro lineární rovnice druhého řádu

2.Konvergence a odhad chyb

3.Metoda přímek

III.Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu

1.Metoda sítí pro rovnici o jedné prostorové proměnné

2.Metoda sítí pro rovnici o více prostorových proměnných

3.Metoda přímek

IV.Numerické řešení hyperbolických zákonů zachování

1.Formulace a vlastnosti hyperbolických zákonů zachování

2.Nejjednodušší diferenční metody

Osnova cvičení:

1.Taylorův rozvoj v kontextu diferenčních vzorců se speciálními vlastnostmi

2.Metoda normalizovaného přesunu

3.Řešení nelineárních diferenčních okrajových úloh

4.Definice slabého řešení eliptické okrajové úlohy

5.Vztah diferenčních aproximací a metody konečných objemů.

Cíle studia:

Znalosti:

Numerické metody založené na převodu okrajové úlohy na úlohu počáteční, metoda sítí pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice.

Schopnosti:

Použití uvedených numerických metod na konkrétní příklady z fyzikální a inženýrské praxe včetně implementace na výpočetní technice a stanovení chyby aproximace.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] A.A. Samarskij, Teoria raznostnych schem, Moskva, Nauka 1983

[2] A.A. Samarskij a J.S. Nikolajev, Numerické řešení velkých řídkých soustav, Praha, Academia 1985

[3] E.Vitásek, Numerické metody, SNTL, Praha 1987

[4] R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002

[5] J.W. Thomas, Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, Springer Science & Business Media, 2013

Doporučená literatura:

[6] R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, Steady State and Time Dependent Problems, SIAM, 2007

[7] E. Godlewski a P.-A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conversation laws, New York, Springer 1996

Studijní pomůcky:

Počítačová učebna Windows/Linux s programovacími jazyky C, Pascal, Fortran.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2024/2025:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• BS Matematické inženýrství - Matematické modelování (povinný předmět oboru)