Pravděpodobnost a matematická statistika 1

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu je úvod do Teorie pravděpodobnosti a statistiky na úrovni teorie míry a to jak pro diskrétní modely a spojitá rozložení, tak pro obecná rozložení náhodných veličin. Probrány jsou výběrové i integrální charakteristiky veličin a jsou odvozeny různé varianty limitních vět (ZVČ, CLT). Tyto poznatky jsou pak dále aplikovány ve statistice při zpracování pozorování a v odhadech parametrů statistického modelu.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MAA3-4 nebo 01MAB3-4).

Osnova přednášek:

Axiomy pravděpodobnostního prostoru, sigma-algebry, pravděpodobnostní míra. Závislé a nezávislé jevy. Borelovské množiny, měřitelné funkce, náhodné veličiny a rozdělení pravděpodobnosti. Radon-Nikodymova věta. Diskrétní a absolutně spojitá rozdělení, příklady. Produktivní míra, integrál podle pravděpodobnostní míry. Střední hodnota náhodné veličiny, obecné a centrální momenty. Prostory Lp, Schwarzova nerovnost, Čebyševova nerovnost, kovariance. Charakteristická funkce a její vlastnosti, použití, reprodukční vlastnosti rozdělení. Konvergence skoro jistě, podle středu, podle pravděpodobnosti. Zákony velkých čísel (Čebyšev, Kolmogorov,...). Slabá konvergence, její vlastnosti, Lévyho věta, Slutskyho lemma, centrální limitní věty, Lindeberg-Fellerův základní CLT, charakterizační Lindebergova podmínka, Berry-Esseenova věta. Vícerozměrné normální rozdělení a jeho vlastnosti. Cochranova věta a nezávislost výběrového průměru a rozptylu. Úvod do statistické indukce, populace, přirozená prodloužení na prostoru pozorování, konstrukce posloupnosti nezávislých pozorování. Problém statistického bodového odhadu, parametrický a neparametrický případ, kritéria optimality odhadů, asymptotická normalita. Vlastnosti výběrových momentů, empirické charakteristiky.

Osnova cvičení:

1. Axiomy pravděpodobnostního prostoru.

2. Závislé a nezávislé jevy.

3. Konkrétní diskrétní rozdělení, jejich vlastnosti (Binomické, Poissonovo, Pascalovo, Geometrické, Hypergeometrické, Multinomické rozdělení).

4. Konkrétní absolutně spojitá rozdělení, jejich vlastnosti (Rovnoměrné, Gamma, Beta, Normální, Exponenciální,...)

5. Konstrukce nových rozdělení transformacemi (Studentovo, Chi-kvadrát, Fisher-Snedecerovo) a jejich kvantily.

6. Výpočet charakteristických funkcí, středních hodnot a momentů konkrétních rozdělení.

7. Kovariance a korelace vybraných veličin.

8. Zákony velkých čísel a Centrální limitní věty - asymptotika a ukázky použití.

9. Dvourozměrné normální rozdělení.

10. Statistický bodový odhad - ukázky konkrétních výběrových odhadů a jejich konsistence a nestrannost, výběrové momenty.

Cíle studia:

Znalosti:

Pojmy a souvislosti v následujících oblastech: Pravděpodobnostní míra, jevy, náhodné veličiny, rozdělení pravděpodobnosti, střední hodnota, kovariance, charakteristická funkce, konvergence, limitní věty, normální rozdělení, statistický bodový odhad, konsistence, nestrannost.

Schopnosti:

Na úrovni teorie míry schopnost zpracovávat základní pravděpodobnostní modely s hlubším pochopením náhodných zákonitostí jak z teoretického pohledu tak vzhledem k praktickému použití. Schopnost použití pro pravděpodobnostní výpočty v konkrétních situacích ve statistice a zpracování dat parametrických modelů.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Rényi A., Teorie pravděpodobnosti, Academia, Praha, 1972.

[2] Anděl J., Základy matematické statistiky, MatFyzPress, Praha, 2005.

[3] Schervish M.J., Theory of Statistics, Springer, 1995.

Doporučená literatura:

[4] Shao J., Mathematical Statistics, Springer, 1999.

[5] Lehmann E.L., Point Estimation, Wiley, N.Y., 1984.

[6] Lehmann E.L., Testing Statistical Hypotheses, Springer, N.Y., 1986.

Poznámka:

státnicový předmět

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• BS Matematické inženýrství - Matematické modelování (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Matematická fyzika (volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Aplikované matematicko-stochastické metody (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Informatická fyzika (volitelný předmět)
• BS Aplikace softwarového inženýrství (volitelný předmět)
• BS Aplikovaná informatika (volitelný předmět)
• BS jaderné inženýrství B (volitelný předmět)
• BS Jaderné inženýrství C (volitelný předmět)
• BS Dozimetrie a aplikace ionizujícího záření (volitelný předmět)
• BS Experimentální jaderná a částicová fyzika (volitelný předmět)
• BS Inženýrství pevných látek (volitelný předmět)
• BS Diagnostika materiálů (volitelný předmět)
• BS Fyzika a technika termojaderné fúze (volitelný předmět)
• BS Fyzikální elektronika (volitelný předmět)
• BS Jaderná chemie (volitelný předmět)