Rovnice matematické fyziky

Garant předmětu:

Václav Klika

Přednášející:

Václav Klika

Cvičící:

Lukáš Heriban, Václav Klika, Václav Růžek, Matěj Tušek

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu je řešení integrálních rovnic, teorie zobecněných funkcí, klasifikace parciálních diferenciálních rovnic, teorie integrálních transformací a řešení parciálních diferenciálních rovnic (okrajová úloha pro eliptickou parciální diferenciální rovnici, smíšená úloha pro eliptickou parciální diferenciální rovnici).

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry, vybrané partie matematické analýzy (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, 01VYMA).

Osnova přednášek:

1. Úvod do funkcionální analýzy - faktorové prostory funkcí, Hilbertovy prostory, vlastnosti skalárního součinu, ortonormální báze, fourierovské rozvoje, ortogonální polynomy, hermitovské operátory, spektrum operátoru a jeho vlastnosti, omezené operátory, spojité operátory, eliptické operátory.

2. Integrální rovnice - integrální operátor a jeho vlastnosti, separabilní jádro operátoru, metoda postupných aproximací, metoda iterovaných jader, Fredholmovy integrální rovnice, Volterrovy integrální rovnice.

3. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic - definice, typy excentricity PDR, transformace parciálních diferenciálních rovnic do normálních tvarů, klasifikace PDR, typologie úloh, rovnice a úlohy matematické fyziky.

4. Teorie zobecněných funkcí - třída testovacích funkcí, superstejnoměrná konvergence, třída zobecněných funkcí, elementární operace v distribucích, zobecněné funkce s pozitivním nosičem, pokročilé operace v distribucích: tenzorový součin a konvoluce, temperované distribuce.

5. Teorie integrálních transformací - klasická a zobecněná Fourierova transformace, klasická a zobecněná Laplaceova transformace, Fourierovo a Laplaceovo desatero, aplikace.

6. Řešení diferenciálních rovnic - fundamentální řešení operátorů, základní věta o řešení PDR, odvození obecných řešení.

7. Okrajová úloha pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.

8. Smíšená úloha pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.

Osnova cvičení:

1. Hilbertovy prostory funkcí

2. Lineární operátory na Hilbertových prostorech

3. Integrální rovnice

4. Parciální diferenciální rovnice

5. Teorie zobecněných funkcí

6. Laplacova transformace

7. Fourierova transformace

8. Fundamentální řešení operátorů

9. Základní rovnice matematické fyziky

10. Eliptické diferenciální rovnice

11. Smíšená úloha

Cíle studia:

Znalosti:

Teorie zobecněných funkcí a její aplikace pro řešení parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu, včetně smíšené úlohy.

Schopnosti:

Samostatná analýza praktických úloh.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] P. Šťovíček: Metody matematické fyziky: Teorie zobecněných funkcí, CVUT, Praha, 2004,

[2] P. Šťovíček: Metody matematické fyziky II. Integrální rovnice, eliptické operátory, CVUT, Praha, 2017

[3] V.S. Vladimirov : Equations of Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York, 1971

[4] Č. Burdík, O. Navrátil : Rovnice matematické fyziky, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008

Doporučená literatura:

[5] L. Schwartz - Mathematics for the Physical Sciences, Dover Publication, 2008

[6] I. M. Gel'fand, G. E. Shilov, Generalized Functions. Volume I: Properties and Operations, Birkhäuser Boston, 2004

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• BS Matematické inženýrství - Matematické modelování (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Matematická fyzika (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Matematické inženýrství - Aplikované matematicko-stochastické metody (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Informatická fyzika (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Aplikace softwarového inženýrství (volitelný předmět)
• BS Aplikovaná informatika (volitelný předmět)
• BS jaderné inženýrství B (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Jaderné inženýrství C (volitelný předmět)
• BS Dozimetrie a aplikace ionizujícího záření (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Experimentální jaderná a částicová fyzika (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Inženýrství pevných látek (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Diagnostika materiálů (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Fyzika a technika termojaderné fúze (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Fyzikální elektronika (povinný předmět oboru, volitelný předmět)
• BS Jaderná chemie (volitelný předmět)