Funkcionální analýza 2

Garant předmětu:

Pavel Šťovíček

Přednášející:

Pavel Šťovíček

Cvičící:

Pavel Šťovíček

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu jsou vybrané základní výsledky z funkcionální analýzy zahrnující hlavní věty teorie Banachových prostorů, uzavřené operátory a jejich spektrum, Hilbertovy-Schmidtovy operátory, spektrální rozklad omezených samosdružených operátorů.

Požadavky:

01FA1

Osnova přednášek:

1. Bairova věta, Banachova-Steinhausova věta (princip stejnoměrné omezenosti), věta o otevřeném zobrazení, věta o uzavřeném grafu.

2. Spektrum uzavřených operátorů v Banachových prostorech, graf operátoru, analytické vlastnosti resolventy, spektrální poloměr.

3. Kompaktní operátory, věta Arzela-Ascoli, Hilbertovy-Schmidtovy operátory.

4. Weylovo kritérium pro normální operátory, vlastnosti spektra omezených samosdružených operátorů.

5. Věta o spektrálním rozkladu samosdružených operátorů, funkcionální počet.

Osnova cvičení:

1. Cvičení na základní vlastnosti Hilbertových prostorů a ortogonální projekci.

2. Faktorizace v Banachových prostorech podle uzavřeného podprostoru.

3. Vlastnosti projekčních operátorů v Banachových prostorech a ortogonálních projektorů v Hilbertových prostorech.

4. Příklady na použití principu stejnoměrné omezenosti.

5. Příklady s integrálními operátory, Hilbertovy-Schmidtovy operátory.

6. Příklady na spektrální rozklad omezených samosdružených operátorů.

Cíle studia:

Znalosti:

Základy teorie Banachových prostorů, vybrané výsledky o kompaktních operátorech a spektrální analýza v Hilbertových prostorech.

Schopnosti:

Uplatnění těchto znalostí při dalším studiu zaměřeném na parciální diferenciální rovnice, integrální rovnice a při řešení problémů z matematické fyziky.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, (Karolinum, Praha, 1993);

Doporučená literatura:

[2] W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, (Academia, Praha, 2003),

[3] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, (SNTL, Praha, 1975),

[4] A. E. Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, (Academia, Praha, 1973).

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: