Základy funkcionální analýzy

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

ústav technické matematiky

Anotace:

: Jednotící role funkcionální analýzy při formulaci a řešení matematických problémů. Metrický prostor, normovaný lineární prostor a lineární prostor se skalárním součinem, operátory, Banachova věta o pevném bodě, zobecněná Fourierova řada.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Význam funkcionální analýzy, její postavení v systému matematických disciplín. Metrický prostor, příklady. Otevřené a uzavřené množiny, hranice, uzávěr.

2. Konvergence posloupnosti v metrickém prostoru, úplný metrický prostor, věta o zúplnění.

3. Kontraktivní zobrazení, Banachova věta o pevném bodu.

4. Aplikace Banachovy věty o pevném bodu: iterační metody řešení soustavy lineárních algebraických rovnic, přibližné řešení diferenciální rovnice, přibližné řešení integrální rovnice.

4. Lineární prostor, báze, dimenze, podprostor. Normovaný lineární prostor, Banachův prostor.

5. Příklady normovaných lineárních prostorů: Rn s různými normami, prostory spojitých a spojitě diferencovatelných funkcí, prostory integrovatelných funkcí.

6. Lineární prostor se skalárním součinem, Schwarzova nerovnost. Hilbertův prostor. Ortogonální prvky, ortogonální doplněk.

7. Ortogonální a ortonormální systém v Hilbertově prostoru. Otázka nejlepší aproximace, zobecněná Fourierova řada.

8. Úplný ortogonální systém, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost.

9. Lineární operátory v normovaných lineárních prostorech. Definiční obor, obor hodnot, nulový prostor.

10. Omezený operátor, spojitý operátor, souvislost spojitosti a omezenosti v případě lineárního operátoru. Příklady. Spektrum lineárního operátoru.

11. Lineární funkcionál, duální prostor. Reflexivní Banachův prostor. Slabá konvergence.

12. Kompaktní a prekompaktní množina v Banachově prostoru. Kompaktní operátor. Kompaktní vnoření.

13. Aplikace metod funkcionální analýzy při řešení problémů matematické fyziky.

14. Aplikace metod funkcionální analýzy při řešení problémů matematické fyziky - dokončení.

Osnova cvičení:

1. Význam funkcionální analýzy, její postavení v systému matematických disciplín. Metrický prostor, příklady. Otevřené a uzavřené množiny, hranice, uzávěr.

2. Konvergence posloupnosti v metrickém prostoru, úplný metrický prostor, věta o zúplnění.

3. Kontraktivní zobrazení, Banachova věta o pevném bodu.

4. Aplikace Banachovy věty o pevném bodu: iterační metody řešení soustavy lineárních algebraických rovnic, přibližné řešení diferenciální rovnice, přibližné řešení integrální rovnice.

4. Lineární prostor, báze, dimenze, podprostor. Normovaný lineární prostor, Banachův prostor.

5. Příklady normovaných lineárních prostorů: Rn s různými normami, prostory spojitých a spojitě diferencovatelných funkcí, prostory integrovatelných funkcí.

6. Lineární prostor se skalárním součinem, Schwarzova nerovnost. Hilbertův prostor. Ortogonální prvky, ortogonální doplněk.

7. Ortogonální a ortonormální systém v Hilbertově prostoru. Otázka nejlepší aproximace, zobecněná Fourierova řada.

8. Úplný ortogonální systém, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost.

9. Lineární operátory v normovaných lineárních prostorech. Definiční obor, obor hodnot, nulový prostor.

10. Omezený operátor, spojitý operátor, souvislost spojitosti a omezenosti v případě lineárního operátoru. Příklady. Spektrum lineárního operátoru.

11. Lineární funkcionál, duální prostor. Reflexivní Banachův prostor. Slabá konvergence.

12. Kompaktní a prekompaktní množina v Banachově prostoru. Kompaktní operátor. Kompaktní vnoření.

13. Aplikace metod funkcionální analýzy při řešení problémů matematické fyziky.

14. Aplikace metod funkcionální analýzy při řešení problémů matematické fyziky - dokončení.

Cíle studia:

Studijní materiály:

- J.Fořt, K.Kozel, J.Neustupa: Matematika pro mechaniku. Skriptum Fakulty strojní, Ediční středisko ČVUT, Praha 2004.

- L.Collatz: Funkcionální analýza a numerická matematika. SNTL, Praha 1970.

- A.Taylor: Úvod do funkcionální analýzy. Academia, Praha 1973.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: