Matematická analýza B4

Garant předmětu:

Milan Krbálek, Jiří Mikyška

Přednášející:

Miroslav Kolář, Jiří Mikyška

Cvičící:

Martin Jex, Miroslav Kolář, Martin Kovanda, Jan Kovář, Milan Krbálek, Jiří Mikyška

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Náplní předmětu je studium vlastností funkcí více proměnných, diferenciálního a integrálního počtu. Dále je probírána teorie míry a abstraktního Lebesgueova integrálu.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy a lineární algebry (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAB2, 01MAB3, 01LA1, 01LAB2).

Osnova přednášek:

Diferenciální počet funkce více proměnných - limita, spojitost, parciální derivace, směrové parciální derivace, totální derivace, totální diferenciál a tečná rovina ke grafu funkce, diferenciály vyšších řádů, Taylorova věta, základní pojmy vektorové analýzy, Jacobiho matice, funkce zadané implicitně soustavou rovnic, regulární zobrazení, záměna proměnných, nekartézské soustavy souřadnic, lokální, vázané a globální extrémy funkce. Integrální počet funkce více proměnných - Riemannův integrál, základní vlastnosti, Fubiniova věta, věta o substituci. Křivkové a plošné integrály - křivka a křivkový integrál 1. a 2. druhu, plocha a plošný integrál 1. a 2. druhu, věty Greenova, Gaussova a Stokesova. Základy teorie míry - množivý (sigma-)okruh a (sigma-)algebra, okruh generovaný polookruhem, pojem míry, systémy množin H_r, K_r a S_r, Jordanova míra v r-dimenzionálním prostoru, Lebesgueova míra v r-dimenzionálním prostoru. Abstraktní Lebesgueův integrál - pojem měřitelné funkce, prostor s mírou, konstrukce základního systému funkcí, definice integrálu a jeho vlastnosti, Leviho a Lebesgueova věta, limita, spojitost a derivace integrálu podle parametru, Lebesgueův integrál v r-dimenzionálním prostoru, vztah k Riemannovu a Newtonovu integrálu, věta o substituci a Fubiniova věta pro Lebesgueův integrál.

Osnova cvičení:

1. Vlastnosti funkce více proměnných.

2. Diferenciální počet funkce více proměnných.

3. Integrální počet funkce více proměnných. 4. Křivkové a plošné integrály.

5. Teorie míry.

6. Teorie Lebesgueova integrálu.

Cíle studia:

Znalosti:

Vyšetřování vlastností funkce více proměnných. Vícerozměrné integrace. Křivkové a plošné integrace. Teoretické aspekty teorie míry a teorie Lebesgueova integrálu.

Schopnosti:

Samostatná analýza praktických úloh.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] M. Krbálek, Matematická analýza IV (druhé rozšířené vydání), Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2009,

[2] M. Krbálek, Matematická analýza IV - cvičení, Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2010

[3] J.Kopáček: Matematická analýza pro fyziky III, Matfyzpress MFFUK, Praha 1998,

[4] J. Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky III, Matfyzpress MFFUK, Praha 1998

Doporučená literatura:

[1] M. Giaquinta, G. Modica, Mathematical analysis - an introduction to functions of several variables, Birkhauser, Boston, 2009

[2] S.L. Salas, E. Hille, G.J. Etger, Calculus (one and more variables), Wiley, 9th edition, 2002

Studijní pomůcky: MATLAB

Poznámka:

Calculus B4

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• BS Matematické inženýrství - Aplikované matematicko-stochastické metody (povinně volitelný předmět)
• BS Informatická fyzika (povinně volitelný předmět)
• BS Aplikace softwarového inženýrství (povinný předmět oboru)
• BS jaderné inženýrství B (povinný předmět oboru)
• BS Dozimetrie a aplikace ionizujícího záření (povinně volitelný předmět)
• BS Experimentální jaderná a částicová fyzika (povinně volitelný předmět)
• BS Inženýrství pevných látek (povinně volitelný předmět)
• BS Diagnostika materiálů (povinně volitelný předmět)
• BS Fyzika a technika termojaderné fúze (povinně volitelný předmět)
• BS Fyzikální elektronika (povinně volitelný předmět)