Lineární algebra a diferenciální počet

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra přírodovědných oborů

Anotace:

Předmět je úvodem do diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné a lineární algebry.

Diferenciální počet: posloupnost, vlastnosti, limita posloupnosti, funkce jedné reálné proměnné, limita funkce, spojitost, derivace, lokální a absolutní extrémy funkce jedné proměnné, vyšetřování průběhu funkce, diferenciál funkce, Taylorův polynom, číselné řady.

Lineární algebra: řešení (homogenních a nehomogenních) soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda, základy maticového počtu (matice, hodnost matice, operace s maticemi, inverzní matice, determinant a jeho výpočet, vlastní čísla a vlastní vektory matic). Analytická geometrie v E3.

Požadavky:

Zápočet:

Nejvýše tři řádně omluvené absence, řádné vypracování semestrové práce a její odevzdání ve stanoveném termínu.

Zkouška:

Zápočet zapsaný v indexu i v KOSu, písemná zkouška - 10 příkladů po 10 bodech.

Stupnice známek: méně než 50% - F, 50-59% - E, 60-69% - D, 70-79% - C, 80-89% - B, 90-100% - A.

Osnova přednášek:

1. Číselné množiny, posloupnosti, vlastnosti posloupností, limita posloupnosti, konvergentní, divergentní posloupnost, reálné funkce jedné reálné proměnné, vlastnosti funkcí, operace s funkcemi, složená funkce, inverzní funkce.

2. Přehled elementárních funkcí (polynomy, goniometrické funkce, cyklometrické funkce, exponenciální a logaritmická funkce), limita funkce, pravidla pro výpočet limit, nevlastní limity, limity v nevlastních bodech, spojitost funkce, vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu.

3. Svislé a šikmé asymptoty grafu funkce. Derivace, pravidla pro výpočet, derivace složené funkce, derivace inverzní funkce, diferenciál a jeho aplikace.

4. Tečna ke grafu funkce, L'Hospitalovo pravidlo, derivace vyšších řádů, Taylorův polynom.

5. Lokální a globální extrémy funkce, průběh funkce.

6. Číselné řady, kriteria konvergence, součet řady (Test 1)

7. Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních algebraických rovnic (SLAR).

8. Vektorový prostor, lineární kombinace vektorů, lineární (ne)závislost skupiny vektorů, lineární obal, lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru, skalární součin vektorů.

9. Matice, různé typy matic, hodnost matice, operace s maticemi, jednotková matice, transponovaná matice, inverzní matice, matice regulární, singulární.

10. Determinant čtvercové matice, Sarrusovo pravidlo, Laplaceův rozvoj determinantu podle řádku, sloupce, výpočet inverzní matice.

11. Řešitelnost SLAR, Frobeniova věta, ekvivalentní soustavy, struktura obecného řešení SLAR, řešení soustavy s regulární maticí pomocí inverzní matice, Cramerovo pravidlo.

12. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercových matic.

13. Velikost vektoru, úhel dvou vektorů, vektorový a smíšený součin a aplikace. (Test 2).

14. Vybrané úlohy z analytické geometrie v E2 a E3.

Osnova cvičení:

1. Posloupnosti, jejich vlastnosti, výpočet limity posloupnosti, opakování elementárních funkcí.

2. Operace s funkcemi, vlastnosti, skládání funkcí, limita funkce, spojitost, inverzní funkce.

3. Asymptoty grafu funkce (s nulovou směrnicí, svislé, šikmé), derivace funkce, přibližný výpočet funkční hodnoty pomocí diferenciálu.

4. Tečna ke grafu funkce, intervaly monotonie funkce, lokální extrémy, výpočet limit užitím l'Hospitalova pravidla.

5. Taylorův polynom, konkávnost a konvexnost, globální extrémy.

6. Průběh funkce. Číselné řady a jejich konvergence/divergence.

7. . Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních algebraických rovnic.

8. Lineární (ne)závislost skupiny vektorů, lineární obal skupiny vektorů, lineární prostory, báze a dimenze prostoru, podprostoru.

9. Skalární součin, operace s maticemi.

10. Výpočet determinantů, inverzní matice, výpočet inverzní matice Gauss-Jordanovou eliminací, řešení maticových rovnic.

11. Řešení soustavy lineárních rovnic, diskuze řešení podle Frobeniovy věty. Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy rovnic s regulární maticí.

12. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercových matic.

13. Velikost vektoru, úhel dvou vektorů, vektorový a smíšený součin a aplikace, vybrané úlohy z analytické geometrie v E2 a E3.

14. Řešení vybraných zkouškových příkladů.

Cíle studia:

Cílem předmětu je získání vědomostí a praktických dovedností v základech diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné a lineární algebry.

Studijní materiály:

[1] J. Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné, skriptum ČVUT, 2004

[2] P. Olšák: Úvod do algebry, zejména lineární, skriptum ČVUT, 2007

[3] J. Neustupa, S. Kračmar, Sbírka příkladů z matematiky 1, Skriptum ČVUT, 2004

[4] http://math.feld.cvut.cz/mt/index.htm

[5] http://math.fme.vutbr.cz

[6] http://www.studopory.vsb.cz

[7] http://dagles.klenot.cz/rihova

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Bakalářský studijní obor Biomedicínský technik - kombinovaný (povinný předmět)