Modelování extrémních událostí

Přednášející:

Václav Kůs

Cvičící:

Václav Kůs

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu je výklad modelů popisujících extrémní události. Tedy událostí, které se vyskytují s nízkou pravděpodobností, ale mojí značný vliv na chování popisovaného modelu. Vyložena bude teorie rizika, fluktuace náhodných sum a fluktuace náhodného maxima. Dále budou probírány jednotlivá rozdělení vhodná pro modelování extrémních událostí a různé modely a jejich aplikace. Teoretické poznatky budou aplikovány na reálná data.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a pravděpodobnost a statistika (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAB2-4, 01LA1, 01LAB2, 01PRST).

Osnova přednášek:

1. Teorie rizika: Klasické modely pro riziko, rizikový proces, čítací procesy obnovy N(t) a jejich vlastnosti, tradiční Cramér-Lundbergův odhad koncové pravděpodobnosti, diskrétní časové posloupnosti.

2. Fluktuace náhodných sum: Náhodná procházka, Zákon velkých čísel, Poissonovo rozdělení a proces jako limitní zákon čítacích řídkých jevů, Hartman-Wintnerův zákon iterovaného logaritmu, funkcionální Centrální limitní teorém a jeho zjemnění, stabilní a alfa-stabilní distribuce a proces jako limita sumačního procesu náhodných veličin s těžkými chvosty, spektrální representace stabilní distribuce.

3. Fluktuace náhodného maxima: Gumbelova, Fréchetova a Weibullova distribuce jako limitní rozdělení maximální hodnoty iid veličin, Cramérův a Heydeův zákon velkých odchylek, Limitní zákony pro maxima Mn=max(X1, X2,...,Xn), Fisher-Tippettův zákon, poissonovské aproximace pro P(Mn .lt. n), Obor stabilní slabé konvergence maxima Mn, aplikace na rozdělení a střední hodnotu překročení dané hranice.

4. Rozdělení pro modelování extremálních hodnot: Pravděpodobnostní rozdělení s těžkými chvosty, zobecněné Pareto, loggamma, lognormální, heavy-tailed Weibullovo, zoobecněné Gumbelovo rozdělení extremálních hodnot, odhady parametrů těchto rozdělení a jejich asymptotické vlastnosti, QQ plot pro fitování správného rozdělení extremálních hodnot.

5. Další modely a jejich aplikace: Modely se subexponenciální distribucí S pro modelování rozdělení s těžkými chvosty. Třída funkcí R_alfa; s regulární variací řádu alfa v nekonečnu, Karamatův teorém.

6. Aplikace na povodňová data, data z pojišťovnictví (kumulativní počet pojistných událostí) a z oblasti finančních rizik.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti:

Matematické modely popisující události, které se vyskytují s relativně nízkou pravděpodobností, ale s významným vlivem na chování celého modelovaného systému, dále rozdělení vhodná pro modelování extrémních událostí, teorie rizika, fluktuace náhodných sum a fluktuace náhodného maxima.

Schopnosti:

Tyto modely pak aplikovat na konkrétních příkladech jako jsou reálná data z povodní, požárů, oblastí pojistných a finančních rizik,... s cílem předpovědí extrémních událostí, tzn. použití na reálná data s cílem predikce.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch Modelling Extremal Events, New York Springer 1997.

Doporučená literatura:

[2] S. Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Springer-Verlag London 2001.

[3] P. Embrechts, H. Schmidli , Modelling of extremal events in insurance and finance , New York, Springer 1994.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů: