Lineární algebra a diferenciální počet

Přednášející:

Helena Říhová (gar.)

Cvičící:

Marcel Jiřina, Milan Tatíček

Předmět zajišťuje:

katedra přírodovědných oborů

Anotace:

Úvod do diferenciálního počtu reálných funkcí jedné reálné proměnné a lineární algebry. Diferenciální počet: posloupnosti, vlastnosti posloupností, limita posloupnosti; funkce jedné proměnné, limita, spojitost, derivace, diferenciál, lokální a globální extrémy monotonie, vyšetřování průběhu funkce, Taylorův polynom, řady.

Lineární algebra: řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda, úvod do teorie matic, základy vektorového počtu, poznámky k analytické geometrii v prostoru E2 a E3.

Požadavky:

Zápočet: Nejvýše tři řádně omluvené absence, úspěšné zvládnutí testů v 6. a 13. týdnu semestru - nutno získat alespoň polovinu z maximálního počtu bodů.

Témata 1. testu: limity, asymptoty, tečny ke grafu funkce, lokální extrémy.

Témata 2. testu: lineární (ne)závislost, lineární kombinace vektorů, inverzní matice, maticová rovnice, determinant.

Zkouška: Zápočet zapsaný v indexu i v KOSu, písemná zkouška - 6 příkladů po 10ti bodech, ústní zkouška - 2 otázky po 20ti bodech. Celkem je možno získat 100 bodů, minimum je 50 bodů, odpovídá nejhorší známce E dostatečně. Předpokládá se znalost látky obsažené v osnově přednášek.

Osnova přednášek:

1. přednáška

Číselné množiny, posloupnosti, vlastnosti posloupností, limita posloupnosti, konvergentní, divergentní posloupnost, reálné funkce jedné reálné proměnné, vlastnosti funkcí, operace s funkcemi, složená funkce, inverzní funkce.

2. přednáška

Limita a spojitost funkce, pravidla pro výpočet limit, nevlastní limity, limity v nevlastních bodech. Svislé a šikmé asymptoty grafu funkce.

3. přednáška

Derivace, pravidla pro výpočet, derivace složené funkce, derivace inverzní funkce, diferenciál a jeho aplikace.

4. přednáška

Vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu. L'Hospitalovo pravidlo, derivace vyšších řádů, funkce definované implicitně a jejich derivace.

5. přednáška

Lokální a globální extrémy funkce, průběh funkce, Taylorův polynom.

6. přednáška

Číselné řady, kriteria konvergence, součet řady.

7. přednáška

Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních algebraických rovnic (SLAR). Lineární prostory, podprostory, jejich vlastnosti.

8 přednáška

Lineární kombinace vektorů, lineární (ne)závislost skupiny vektorů, lineární obal, báze, dimenze lineárního prostoru, skalární součin vektorů.

9 přednáška

Matice, různé typy matic, hodnost matice, součin matic, jednotková matice, inverzní matice, matice regulární, singulární.

10 přednáška

Permutace, determinant čtvercové matice, Sarrusovo pravidlo, algebraický doplněk, rozvoj determinantu podle řádku, sloupce, výpočet inverzní matice.

11 přednáška

Řešitelnost SLAR, Frobeniova věta, ekvivalentní soustavy, struktura obecného řešení SLAR, řešení soustavy s regulární maticí pomocí inverzní matice, Cramerovo pravidlo.

12. přednáška

Vlastní čísla a vlastní vektory matice, souřadnice vektoru v uspořádané bázi, velikost vektoru, úhel dvou vektorů, vektorový a smíšený součin, aplikace.

13. přednáška

Vybrané partie z analytické geometrie v E2 a E3, kuželosečky a kvadriky.

14. přednáška

Shrnutí.

Osnova cvičení:

1. cvičení

Posloupnosti, jejich vlastnosti, výpočet limity posloupnosti, opakování elementárních funkcí.

2. cvičení

Operace s funkcemi, vlastnosti, skládání funkcí, limita funkce, spojitost.

3. cvičení

Asymptoty grafu funkce, inverzní funkce. Derivace funkce, přibližný výpočet funkční hodnoty pomocí diferenciálu.

4. cvičení

Intervaly monotonie, výpočet limit užitím l'Hospitalova pravidla.

5. cvičení

Průběh funkce, lokální extrémy, globální extrémy.

6. cvičení

Taylorův polynom. Číselné řady a jejich konvergence, divergence. Test č.1

7. cvičení

Gaussova eliminace, lineární prostory a podprostory.

8. cvičení

Lineární (ne)závislost vektorů, báze, lineární obal, dimenze.

9. cvičení

Matice, výpočet inverzní matice, součin matic.

10. cvičení

Výpočet determinantu, Sarrusovo pravidlo, rozvoj podle řádku, nebo sloupce.

11. cvičení

SLAR, podmínky řešitelnosti, struktura obecného řešení SLAR.

12. cvičení

Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice. Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů.

13. cvičení

Příklady z analytické geometrie v rovině a v prostoru. Test č.2

14. cvičení

Časová rezerva. Zápočet

Cíle studia:

Cílem studia je proniknutí do základů diferenciálního počtu reálných funkcí jedné reálné proměnné a do základů lineární algebry a seznámení se s některými aplikacemi nastudované teorie.

Studijní materiály:

[1] J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z matematiky I, skriptum ČVUT 2003

[2] J. Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné, skriptum ČVUT, 2004

[3] P. Olšák: Úvod do algebry, zejména lineární, skriptum ČVUT, 2007

[4] http://math.feld.cvut.cz/mt/index.htm

[5] http://math.fme.vutbr.cz

[6] http://dagles.klenot.cz/rihova (V posledním odkazu najdete ukázkové příklady k testům.)

[7] http://www.studopory.vsb.cz

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2011/2012:

	06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po	místnost KL:B-309 Jiřina M. 10:00–11:50 (přednášková par. 1 paralelka 101) Kladno FBMI zasedačkamístnost KL:C-4 Říhová H. 14:00–15:50 (přednášková par. 1) Kladno FBMI Malý sál
Út
St	místnost KL:B-616 Jiřina M. 10:00–11:50 (přednášková par. 1 paralelka 102) Kladno FBMI Učebna
Čt
Pá

Rozvrh na letní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Bakalářský studijní obor Biomedicínská informatika - prezenční (povinný předmět)
• Bakalářský studijní obor Biomedicínská informatika - prezenční (povinný předmět)