Pokročilé partie numerické lineární algebry

Přednášející:

Jiří Mikyška (gar.)

Cvičící:

Jiří Mikyška (gar.)

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Reprezentace reálných čísel v počítači, chování zaokrouhlovacích chyb při aritmetických operacích, citlivost úlohy, numerická stabilita algoritmu. Bude analyzována citlivost vlastních čísel matic a citlivost řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Následovat bude zpětná analýza těchto úloh. Ve druhé části přednášky budou probrány metody QR rozkladu matic, metoda nejmenších čtverců, některé moderní krylovovské metody pro řešení soustav rovnic a Lanczosova metoda pro aproximaci vlastních čísel symetrické matice.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, 01NM)

Osnova přednášek:

1. Úvod, základní pojmy, reprezentace čísel v počítači

2. Standardní aritmetika IEEE, vliv zaokrouhlovacích chyb při výpočtech v aritmetice s konečnou přesností, přímá a zpětná analýza algoritmu

3. Podobnostní transformace, Schurova věta, měření vzdáleností spekter matic

4. Věta o citlivosti spekter obecných matic

5. Citlivost vlastních čísel diagonálních a normálních matic, zpětná analýza problému vlastních čísel

6. Citlivost řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zpětná analýza řešení soustav lineárních algebraických rovnic

7. QR-rozklady matic a ortogonální transformace

8. Householderova transformace

9. Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces, metoda nejmenších čtverců

10. Metody Krylovových podprostorů - úvod, Arnoldiho algoritmus, metoda zobecněných minimálních reziduí pro řešení soustav rovnic

11. Lanczosův algoritmus, aproximace vlastních čísel symetrické matice

12. Přehled metod Krylovových podprostorů pro řešení soustav rovnic

13. Předpodmiňování iteračních metod, příklady jednoduchých předpodmínění

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti:

Aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou, vznik a šíření zaokrouhlovacích chyb v aritmetice s konečnou přesností, použití zpětné analýzy chyb k odhadu přesnosti aproximace. Citlivost a zpětná analýza spekter matic a řešení soustav lineárních algebraických rovnic, metody QR rozkladu, Arnoldiho algoritmus, základní krylovovské metody pro řešení soustav rovnic (GMRES, CG, MinRes, BiCG, QMR) a Lanczosova metoda pro aproximaci vlastních čísel symetrické matice.

Schopnosti:

Zvolit vhodnou metodu pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic nebo výpočet spektra dané matice a odhadnout chybu získané aproximace.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Drkošová, Strakoš: Úvod do teorie citlivosti a stability v numerické lineární algebře, skripta ČVUT Praha, 1997.

Doporučená literatura:

[2] D. S. Watkins: Fundamentals of Matrix Computations, J. Willey, New York, 1991

[3] B. N. Parlett: Symmetric Eigenvalue Problem, Prentice Hall, Engl. Cliffs, 1988

[4] G. H. Golub, C. F. van Loan: Matrix Computations, John Hopkins, 1997.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů: