Funkcionální analýza 2

Přednášející:

Pavel Šťovíček (gar.)

Cvičící:

Pavel Šťovíček (gar.)

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu jsou vybrané základní výsledky z funkcionální analýzy zahrnující hlavní věty teorie Banachových prostorů, Hilbertovy-Schmidtovy operátory, spektrální rozklad omezených samosdružených

operátorů a základy teorie neomezených samosdružených operátorů.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a funkcionální analýza 1 (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, 01FA1).

Osnova přednášek:

1. Bairova věta, Banachova-Steinhausova věta (princip stejnoměrné omezenosti), věta o otevřeném zobrazení, věta o uzavřeném grafu, Hahnova-Banachova věta.

2. Spektrum uzavřených operátorů v Banachových prostorech, graf operátoru, analytické vlastnosti resolventy, spektrální poloměr.

3. Kompaktní operátory (shrnutí a opakování), věta Arzela-Ascoli, Hilbertovy-Schmidtovy operátory.

4. Weylovo kritérium pro normální operátory, vlastnosti spektra omezených samosdružených operátorů a věta o spektrálním rozkladu, funkcionální počet.

5. Sdružené operátory k neomezeným operátorům v Hilbertových prostorech,

základy teorie samosdružených rozšíření symetrických operátorů.

Osnova cvičení:

1. Cvičení na základní vlastnosti Hilbertových prostorů a ortogonální projekci.

2. Faktorizace v Banachových prostorech podle uzavřeného podprostoru.

3. Vlastnosti projekčních operátorů v Banachových prostorech a ortogonálních projektorů v Hilbertových prostorech.

4. Příklady na použití principu stejnoměrné omezenosti.

5. Příklady s integrálními operátory, Hilbertovy-Schmidtovy operátory.

6. Příklady na spektrální rozklad omezených samosdružených operátorů.

Cíle studia:

Znalosti:

Základy teorie Banachových prostorů, vybrané výsledky o kompaktních operátorech a spektrální analýza v Hilbertových prostorech.

Schopnosti:

Uplatnění těchto znalostí při dalším studiu zaměřeném na parciální diferenciální rovnice, integrální rovnice a při řešení problémů z matematické fyziky.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, (Karolinum, Praha, 1993);

Doporučená literatura:

[2] W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, (Academia, Praha, 1977),

[3] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, (SNTL, Praha, 1975),

[4] A. E. Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, (Academia, Praha, 1973).

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů: