Funkcionální analýza 1

Přednášející:

Miloslav Havlíček (gar.), Severin Pošta

Cvičící:

Miloslav Havlíček (gar.), Severin Pošta, Matěj Tušek

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Pokračování kurzu matematické analýzy a algebry úvodem do základů funkcionální analýzy. Jsou zde zavedeny pojmy,které posluchači potřebuji k pochopení nejhrůznějších pokročilých fyzikálních i technických disciplin.

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy a lineární algebry (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LAP, 01LAA2).

Osnova přednášek:

1. Vektorové prostory, metrické a topologické prostory

2. Topologické vektorové prostory

3. Banachovy prostory a omezená lineární zobrazení

4. Fourieruv-Planchereluv operátor, Fourierova transformace

5. Spektrum uzavřených lineárních operátorů

6. Hilbertovy prostory

7. Omezené lineární operátory na Hilbertově prostoru

8. Hermitovské operátory, projektory

9. Unitární a izometrické operátory

10. Spektrální vlastnosti normálních operátorů

11. Struktura množiny kompaktních operátorů

12. Spektrum kompaktních operátorů

Osnova cvičení:

1. Základní topologické pojmy, opakování

2. Vlastnosti metrických a Banachových prostorů

3. Banachovy prostory a omezená lineární zobrazení

4. Rezolventní formule, Fourierova transformace

5. Skalární součin, izomorfizmus Hilbertových prostorů, ortogonalita

7. Norma, spojitost, lineární rozšíření, projektory, druhy konvergence

8. Spektrální vlastnosti normálních a kompaktních operátorů, ideály kompaktních operátorů

Cíle studia:

Znalosti:

Základní vlastnosti Hilbertových prostorů a omezených lineárních operátorů na těchto prostorech, základní vlastnosti Fourierovy transformace.

Schopnosti:

Aplikace získaných znalostí na vyšetřování vlastností konkrétních operátorů, především jejich spekter.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Blank, Exner, Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha, 1993

Doporučená literatura:

[2] Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, Academia, Praha, 1973

[3] Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum, Praha, 1998

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů: