Vybrané kapitoly z matematiky

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra biomedicínské techniky

Anotace:

Základní představy o historii a šíři matematiky: Co je matematika? Čísla. Principy uvažování. Kalkulus - matematika pohybu. Geometrie. Topologie a teorie grafů.

Obyčejné diferenciální rovnice (ODR)- formulace úloh, formulace postačujících podmínek existence a jednoznačnost řešení. Řešení úloh pro vybrané typy ODR (analytické řešení, numerické řešení).

Parciální diferenciální rovnice (PDR) - formulace úloh. Klasifikace lineárních PDR 2. řádu, příklady jednotlivých typů rovnic a formulace úloh pro ně, metody řešení úloh pro vlnovou rovnici, rovnici vedení tepla a Poissonovu rovnici. Numerické řešení uvedených typů rovnic metodou sítí.

Požadavky:

Podmínky zápočtu: nejvýše tři řádně omluvené absence, úspěšné zvládnutí testů v 6. a 13. týdnu.

Požadavky ke zkoušce: zápočet zapsaný v indexu i v KOSu, písemná zkouška (trvá 100 min. čistého času) - 10 příkladů po 10 bodech. Standardní hodnocení podle studijního řádu ČVUT.

Osnova přednášek:

1. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu, formulace úloh, postačující podmínky existence a jednoznačnosti řešení. Metody řešení. (F)

2. Soustavy ODR 1. řádu, formulace úloh, metody řešení. ODR n-tého řádu, příklady úloh. (F)

3. ODR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Metody řešení. (F)

4. Co je matematika? (R)

5. Úvod do parciálních diferenciálních rovnic (PDR), klasifikace lineárních PDR 2. řádu, formulace základních úloh pro jednotlivé typy PDR. (F)

6. Laplaceova a Poissonova rovnice, formulace okrajových úloh, Dirichletova úloha. Metody řešení. (F)

7. Čísla a aritmetika.(R)

8. Rovnice vedení tepla, formulace úloh, Fourierova metoda, numerické řešení. (F)

9. Principy uvažování.(R)

10. Kalkulus - matematika pohybu.(R)

11. Vlnová rovnice, formulace úloh, metody řešení. (F)

12. Geometrie a my.(R)

13. Jak to všechno souvisí. Algebra a abstraktní systémy.(R)

14. Topologie - abstrakce struktury.(R)

Osnova cvičení:

1. ODR 1. řádu, rovnice se separovanými proměnnými, lineární rovnice, další typy rovnic, řešení příkladů.

2. Soustavy ODR 1. řádu, formulace úloh, metody řešení.

3. Autonomní systémy, ODR n-tého řádu, příklady úloh.

4. Homogenní ODR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení Cauchyovy úlohy pro homogenní rovnici.

5. Nehomogenní ODR n-tého řádu s konstantními koeficienty, odhad řešení podle tvaru pravé strany. Řešení Cauchyovy úlohy pro nehomogenní rovnici (také pomocí Laplaceovy transformace).

6. pracovní test.

7. Klasifikace PDR, příklady.

8. Princip metody sítí pro řešení Dirichletovy okrajové úlohy, příklady.

9. Rovnice vedení tepla, formulace úloh, numerické řešení, explicitní metoda.

10. Rovnice vedení tepla, numerické řešení, implicitní metoda.

11. Vlnová rovnice, formulace úloh, numerické řešení, explicitní metoda.

12. Vlnová rovnice, formulace úloh, numerické řešení, implicitní metoda.

13. pracovní test.

14. Zápočet

Cíle studia:

Předmět má studentům poskytnout přehled o šíři matematických disciplín a obšírněji je seznámit s problematikou řešení úloh popisovaných diferenciálními rovnicemi.

Studijní materiály:

Studijní materiály

[1] Devlin K.: Jazyk matematiky, Argo, Dokořán, Praha, 2002;

[2] Tkadlec, J.: Diferenciální rovnice. Laplaceova transformace. Vydavatelství ČVUT, Praha, 2005

[3] Dont, M.: Úvod do parciálních diferenciálních rovnic, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2008

[4] Čipera S.: Řešené příklady z matematiky, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2002

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Navazující magisterský studijní obor Přístroje a metody pro biomedicínu - prezenční v angličtině (povinný předmět)