Pokročilá analýza

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Předmět je úvodem do teorie míry a integrace a základů funkcionální analýzy. V první části je vyložena teorie Lebesgueova integrálu. Další partie jsou věnovány základním pojmům teorie Banachových a Hilbertových prostorů a jejich spojitosti s harmonickou analýzou. Poslední část se zabývá spektrální teorii operátorů a jejími aplikacemi v maticové analýze.

Požadavky:

Předmět je zakončen standardně zápočtem a zkouškou. Podmínkou pro získání zápočtu je aktivní účast na výuce. Hodnocení předmětu bude záviset na zkoušce samotné. Zkouška je ústní a je při ní zkoušena probraná látka. Další informace viz https://math.fel.cvut.cz/en/people/sobotik/vyuka/b0b01pan

Osnova přednášek:

1. Algebry a okruhy podmnožin. Měřitelné funkce. Míra na sigma-algebře.

2. Abstraktní Lebesgueův integrál a střední hodnota náhodné veličiny.

3. Lebesgueova míra v R^n (konstrukce z vnější míry). Lebesgueův integrál.

4. Konvergenční věty.

5. Součinová míra. Fubiniho věta.

6. Integrace v R^n - věta o substituci.

7. Normovaný prostor. Úplnost. Omezené operátory na normovaném prostoru.

8. Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Projekční věta.

9. Prostor L^2(R) jako Hilbertův prostor. Hustota diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem. Fourierova transformace v L^2(R). Plancherelova věta.

10. Spektra operátorů na Hilbertově prostoru. Základní třídy operátorů na Hilbertově prostoru: samoadjungovaný, pozitivní, unitární operátor, projekce.

11. Diagonalizace normálního operátoru a matice.

12. Rozklady matic a operátorů - spektrální, polární, SVD.

13. Funkce operátoru a matice.

14. Rezerva.

Osnova cvičení:

1. Algebry a okruhy podmnožin. Měřitelné funkce. Míra na sigma-algebře.

2. Abstraktní Lebesgueův integrál a střední hodnota náhodné veličiny.

3. Lebesgueova míra v R^n (konstrukce z vnější míry). Lebesgueův integrál.

4. Konvergenční věty.

5. Součinová míra. Fubiniho věta.

6. Integrace v R^n - věta o substituci.

7. Normovaný prostor. Úplnost. Omezené operátory na normovaném prostoru.

8. Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Projekční věta.

9. Prostor L^2(R) jako Hilbertův prostor. Hustota diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem. Fourierova transformace v L^2(R). Plancherelova věta.

10. Spektra operátorů na Hilbertově prostoru. Základní třídy operátorů na Hilbertově prostoru: samoadjungovaný, pozitivní, unitární operátor, projekce.

11. Diagonalizace normálního operátoru a matice.

12. Rozklady matic a operátorů - spektrální, polární, SVD.

13. Funkce operátoru a matice.

14. Rezerva.

Cíle studia:

Studijní materiály:

[1] Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, 1977

[2] Kreyszig, E.: Introductory functional analysis with applications, Wiley 1989

[3] Lukeš, L.: Jemný úvod do funkcionální analýzy, Karolinum, 2005

[4] Meyer, C.D.: Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM 2001.

Poznámka:

Předmět bude vyučován pouze v prezenční formě bez anglické verze.

Další informace:

https://math.fel.cvut.cz/en/people/sobotik/vyuka/b0b01pan

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Kybernetika a Robotika 2021 (povinně volitelný předmět)