Matematika pro kvantovou informatiku

Garant předmětu:

Aurél Gábor Gábris

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra aplikované matematiky

Anotace:

Linear algebra on finite dimensional spaces with scalar product, Hilbert spaces, Dirac's bra-ket formalism, normal, Hermitian and unitary operators, operator spectrum, orthonormalization, diagonalization, matrix exponential, tensor product of vector spaces and operators. Discrete Fourier transform and fast Fourier transform.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Komplexní čísla, vektorové prostory, skalární součin.

2. Geometrie Hilbertova prostoru konečné dimenze: ortonormální báze, Fourierův rozvoj, Parsevalova rovnost, Schwarzova nerovnost.

3. Lineární operátory na Hilbertově prostoru konečné dimenze, maticová reprezentace operátoru.

4. Diracova bra-ketová notace. Hermitovsky sdružený operátor (matice). Duální prostor Hilbertova prostoru konečné dimenze a Rieszova věta.

5. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru (matice), spektrum operátoru, diagonalizace.

6. Normální operátory: projektory, Hermitovské operátory, unitární operátory.

7. Vlastnosti normálních operátorů, zejména spektrální vlastnosti. Spektrální rozklad operátorů (matic).

8. Tenzorový součin vektorových prostorů a operátorů (matic).

9. Exponenciála matice, vztah Hermitovských a unitárních operátorů (matic).

10. Stopa operátoru a její vlastnosti. Matice hustoty.

11. Diskrétní Fourierova transformace (DFT) jakožto unitární operátor (matice).

12. Vlastnosti Diskrétní Fourierovy transformace.

13. Implementace DFT pomocí rychlé Fourierovy transformace (FFT).

Osnova cvičení:

1. Komplexní čísla, vektorové prostory, skalární součin.

2. Geometrie Hilbertova prostoru konečné dimenze: ortonormální báze, Fourierův rozvoj, Parsevalova rovnost, Schwarzova nerovnost.

3. Lineární operátory na Hilbertově prostoru konečné dimenze, maticová reprezentace operátoru.

4. Diracova bra-ketová notace. Hermitovsky sdružený operátor (matice). Duální prostor Hilbertova prostoru konečné dimenze a Rieszova věta.

5. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru (matice), spektrum operátoru, diagonalizace.

6. Normální operátory: projektory, Hermitovské operátory, unitární operátory.

7. Vlastnosti normálních operátorů, zejména spektrální vlastnosti. Spektrální rozklad operátorů (matic).

8. Tenzorový součin vektorových prostorů a operátorů (matic).

9. Exponenciála matice, vztah Hermitovských a unitárních operátorů (matic).

10. Stopa operátoru a její vlastnosti. Matice hustoty.

11. Diskrétní Fourierova transformace (DFT) jakožto unitární operátor (matice).

12. Vlastnosti Diskrétní Fourierovy transformace.

13. Implementace DFT pomocí rychlé Fourierovy transformace (FFT).

Cíle studia:

Lineární algebra na konečně dimenzionálním prostoru se skalárním součinem, Hilbertovy prostory, Diracův bra-ketový formalismus, normální, hermitovské a unitárních operátory, spektrum operátoru, ortonormalizace, diagonalizace, maticová exponenciála, tenzorový součin vektorových prostorů a operátorů. Diskrétní Fourierova transformace a rychlá Fourierova transformace.

Studijní materiály:

1. Strang, G.: Introduction to Linear Algebra, 5th Edition

Wellesley-Cambridge Press 2016, ISBN 978-0980232776

2. Lay, D.C., Lay S. R., McDonald, J. J.: Linear Algebra and Its Applications, 5th Edition, Pearson 2015, ISBN 978-0321982384

3. Lipton, R. J., Regan, K. W.: Introduction to Quantum Algorithms via Linear Algebra, 2nd Edition, MIT Press 2021, ISBN 9780262045254

Poznámka:

Tento předmět je vyučován v anglickém jazyce.

Další informace:

https://courses.fit.cvut.cz/QNIE-MQI

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: