Kvantová korekce chyb

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra aplikované matematiky

Anotace:

V předmětu vybudujeme teorii konstrukce kvantových samoopravných kódů. V úvodní části budou shrnuty potřebné kapitoly z klasické teorie, nad níž poté prezentujeme kvantovou obdobu. Ukážeme, jakým způsobem může koherentně uchovaná kvantová informace být odolná vůči ztrátám a šumu. V závěru předmětu dospějeme k principu chybové tolerance, na jehož základě jsou kvantové počítače schopny průběžně opravovat chyby vzniklé za běhu programu a dosahovat tak správných výsledků i s chybujícími bity, hradly či měřením.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Blokové kódy, hustota (transmission rate) kódu, lineární kódy, Hammingovy kódy, dekódování pomocí syndromu.

2. Singletonova mez, Hammingův (sphere-packing) odhad, GilbertVarshamovův odhad, duální kódy.

3. LDPC kódy, expandérové kódy.

4. Specifika kvantového uchování a zpracování informace: stavový prostor, unitární operace, měření, no-cloning teorém. Kvantová hradla a univerzální podmnožina. Pauliho grupa.

5. Čisté a smíšené stavy, dekoherenční kanály. Vstup chyby při přenosu informace, uchování, výpočtech. Model vzájemně nezávislých, rotačně symetrických jednobitových poruch. Podmínky funní chybové korekce. Linearita..

6. Stabilizátorové kódy, koncept fyzických, logických qubitů a kódové vzdálenosti. Repetiční kód jako příklad stabilizátorového kódu. Konkatenace a Shorův [[9,1,3]] kód. Nedestruktivní měření syromu.

7. CSS konstrukce bezpečnostních kódů, Steaneův [[7,1,3]] kód.

8. Kvantové verze mezí pro kódovou vzdálenost. Degenerované kvantové kódy. Cyklický [[5,1,3]] kód, výmazový [[4,2,2]] kód, další význačné příklady.

9. Cliffordova grupa. Transformace stabilizátorů při operacích. Enkodéry a dekodéry stabilizátorových kódů.

10. Operace nad jedním a více logickými qubity. Princip chybové tolerance kvantových výpočtů.

11. GottesmanůvKnillův teorém. Univerzální kvantové počítání na zakódovaných qubitech. Prahová věta pro chybově tolerantní kvantové výpočty.

12. Důležité rodiny kvantových kódů. Torický kód a další topologické konstrukce. Chybově tolerantní počítání bez konkatenace.

13. Současné směry kvantových bezpečnostních kódů.

Osnova cvičení:

1. Blokové kódy, hustota (transmission rate) kódu, lineární kódy, Hammingovy kódy, dekódování pomocí syndromu.

2. Singletonova mez, Hammingův (sphere-packing) odhad, GilbertVarshamovův odhad, duální kódy.

3. LDPC kódy, expandérové kódy.

4. Specifika kvantového uchování a zpracování informace: stavový prostor, unitární operace, měření, no-cloning teorém. Kvantová hradla a univerzální podmnožina. Pauliho grupa.

5. Čisté a smíšené stavy, dekoherenční kanály. Vstup chyby při přenosu informace, uchování, výpočtech. Model vzájemně nezávislých, rotačně symetrických jednobitových poruch. Podmínky funní chybové korekce. Linearita..

6. Stabilizátorové kódy, koncept fyzických, logických qubitů a kódové vzdálenosti. Repetiční kód jako příklad stabilizátorového kódu. Konkatenace a Shorův [[9,1,3]] kód. Nedestruktivní měření syromu.

7. CSS konstrukce bezpečnostních kódů, Steaneův [[7,1,3]] kód.

8. Kvantové verze mezí pro kódovou vzdálenost. Degenerované kvantové kódy. Cyklický [[5,1,3]] kód, výmazový [[4,2,2]] kód, další význačné příklady.

9. Cliffordova grupa. Transformace stabilizátorů při operacích. Enkodéry a dekodéry stabilizátorových kódů.

10. Operace nad jedním a více logickými qubity. Princip chybové tolerance kvantových výpočtů.

11. GottesmanůvKnillův teorém. Univerzální kvantové počítání na zakódovaných qubitech. Prahová věta pro chybově tolerantní kvantové výpočty.

12. Důležité rodiny kvantových kódů. Torický kód a další topologické konstrukce. Chybově tolerantní počítání bez konkatenace.

13. Současné směry kvantových bezpečnostních kódů.

Cíle studia:

V předmětu vybudujeme teorii konstrukce kvantových samoopravných kódů. V úvodní části budou shrnuty potřebné kapitoly z klasické teorie, nad níž poté prezentujeme kvantovou obdobu. Ukážeme, jakým způsobem může koherentně uchovaná kvantová informace být odolná vůči ztrátám a šumu. V závěru předmětu dospějeme k principu chybové tolerance, na jehož základě jsou kvantové počítače schopny průběžně opravovat chyby vzniklé za běhu programu a dosahovat tak správných výsledků i s chybujícími bity, hradly či měřením.

Studijní materiály:

1. Gottesman, D.: Stabilizer Codes and Quantum Error Correction

Ph.D. thesis, California Institute of Technology 1997

https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9705052

2. Ball, S.: A Course in Algebraic Error-Correcting Codes

Springer 2020

ISBN 9783030411527

3. Gaitan, F.: Quantum Error Correction And Fault Tolerant Quantum Computing

CRC Press

Poznámka:

Předmět může být vyučován v anglickém jazyce.

Další informace:

https://courses.fit.cvut.cz/QNI-QEC

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Kvantová informatika (povinně volitelný předmět)