Proseminář z matematické analýzy

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Účelem předmětu je posílení a rozšíření znalostí v oblasti matematické analýzy jedné reálné proměnné. Náplní je demonstrace a procvičení jak typických početních technik, tak důležitých logických postupů využívaných v analýze i v dalších matematických disciplínách. K těmto teoretickým základům patří zejména pochopení smyslu matematického důkazu, schopnost zobecnění různých výsledků na základě společných vlastností i opačná schopnost použití abstraktních výsledků na konkrétní problém. Posluchačům s hlubším zájmem o problematiku také předmět nabízí rozšiřující informace a složitější problémy. Cílem je jednak zlepšit předpoklady pro další studium matematických předmětů, ale rovněž prohloubit schopnost samostatně využívat pokročilejšího matematického aparátu k řešení praktických problémů.

Požadavky:

Osnova přednášek:

Osnova cvičení:

1) grafy elementárních funkcí (mocniny, absolutní hodnota), transformace grafu, základní typy matematického důkazu, kvantifikátory, důkazy indukcí (sčítací formule, důsledky binomické věty, Bernoulli)

2) monotonní a omezené posloupnosti a funkce, supremum, limita, smysl srovnávacích limit, spočetné a nespočetné množiny

3) základní techniky výpočtu limit posloupností (aritmetika limit, odhady, omezené posloupnosti, rozdíl odmocnin), alternativní zavedení exponenciály a goniometrických funkcí, Heineho, Bolzanova–Cauchyho věta, Bolzanova–Weierstrassova věta

4) limity funkcí s parametrem, racionální funkce, inverzní funkce a jejich grafy, technika vybírání posloupností

5) smysl srovnávacích limit funkcí, limity funkcí typu f^g, spojitost, složitější limity, teoretické výsledky o limitách

6) derivace funkcí typu f^g a funkcí s parametrem, l’Hospital, teoretické aspekty diferencovatelnosti a spojitosti

7) srovnávací limity, pasti na l’Hospitala, důkazy těžších vět o diferencovatelnosti a spojitosti

8) Taylorův polynom, složitější limity postavené na taylorovských odhadech

9) průběh funkce, vlastnosti konvexních funkcí

10) integrace racionálních funkcí, kombinace substituce a jiných metod, opakované per-partes, důkaz a modifikace zakrývacího pravidla

11) určitý integrál a jeho smysl, integrace kladných a záporných funkcí, odhady integrálu, stejnoměrná konvergence

12) zobecněný určitý integrál, další odhady integrálu, integrace funkcí definovaných po

částech, alternativní zavedení určitého integrálu

13) konvergence číselných řad, srovnávací odhady, složitější odhady pro konvergenci pomocí srovnávání a l’Hospitala

14) konvergence číselných řad, rezerva

Cíle studia:

Studijní materiály:

[1] W. J. Kaczor, M. T. Nowak: Problems in Mathematical Analysis I, II, III. AMS 2000, 2001, 2003.

[2] J. Stewart, D. K. Clegg, S. Watson: Single Variable Calculus, 9th Ed. Cengage Learning 2020.

[3] J. Haas, C. Heil, M. D. Weir, P. Bogacki: Thomas’ Calculus, 15th Ed. Pearson 2022.

[3] J. Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. ČVUT 2011.

Poznámka:

Další informace:

https://moodle.fel.cvut.cz/courses/B0B01PMA

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: