Rovnice matematické fyziky

Garant předmětu:

Václav Klika

Přednášející:

Václav Klika

Cvičící:

Václav Klika, Juraj Kováč, Matěj Tušek

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Obsahem předmětu je řešení integrálních rovnic, teorie zobecněných funkcí, klasifikace parciálních diferenciálních

rovnic, teorie integrálních transformací a řešení parciálních diferenciálních rovnic (okrajová úloha pro eliptickou

parciální diferenciální rovnici, smíšená úloha pro eliptickou parciální diferenciální rovnici).

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Úvod do funkcionální analýzy - faktorové prostory funkcí, Hilbertovy prostory, vlastnosti skalárního součinu,

ortonormální báze, fourierovské rozvoje, ortogonální polynomy, hermitovské operátory, spektrum operátoru a jeho

vlastnosti, omezené operátory, spojité operátory, eliptické operátory.

2. Integrální rovnice - integrální operátor a jeho vlastnosti, separabilní jádro operátoru, metoda postupných aproximací,

metoda iterovaných jader, Fredholmovy integrální rovnice, Volterrovy integrální rovnice.

3. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic - definice, typy excentricity PDR, transformace parciálních

diferenciálních rovnic do normálních tvarů, klasifikace PDR, typologie úloh, rovnice a úlohy matematické fyziky.

4. Teorie zobecněných funkcí - třída testovacích funkcí, superstejnoměrná konvergence, třída zobecněných funkcí,

elementární operace v distribucích, zobecněné funkce s pozitivním nosičem, pokročilé operace v distribucích: tenzorový

součin a konvoluce, temperované distribuce.

5. Teorie integrálních transformací - klasická a zobecněná Fourierova transformace, klasická a zobecněná Laplaceova

transformace, Fourierovo a Laplaceovo desatero, aplikace.

6. Řešení diferenciálních rovnic - fundamentální řešení operátorů, základní věta o řešení PDR, odvození obecných

řešení.

7. Okrajová úloha pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.

8. Smíšená úloha pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Studijní materiály:

Povinná literatura

[1] P. Šťovíček: Metody matematické fyziky II. Integrální rovnice, eliptické operátory, ČVUT, Praha, 2017

[2] P. Šťovíček: Metody matematické fyziky: Teorie zobecněných funkcí, ČVUT, Praha, 2004

[3] Č. Burdík, O. Navrátil: Rovnice matematické fyziky, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008

[4] A. G. Webster, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Second Edition, Dover, New York, 2016

Doporučená literatura

[5] L. Schwartz: Mathematics for the Physical Sciences, Dover Publication, 2008

[6] A. Tikhonov, A. Samarskii: Equations of Mathematical Physics, Courier Corp., Science, 2013

[7] I. M. Gel'fand, G. E. Shilov: Generalized Functions. Volume I: Properties and Operations, Birkhäuser Boston, 2004

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Rozvrh na letní semestr 2023/2024:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Radiolgická fyzika (povinný předmět programu)