Logo ČVUT
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
STUDIJNÍ PLÁNY
2019/2020

Míra a pravděpodobnost

Přihlášení do KOSu pro zápis předmětu Zobrazit rozvrh
Kód Zakončení Kredity Rozsah Jazyk výuky
01MIP Z,ZK 6 4+2 česky
Přednášející:
Václav Kůs (gar.)
Cvičící:
Tomáš Hobza (gar.), Václav Kůs (gar.)
Předmět zajišťuje:
katedra matematiky
Anotace:

Předmět je věnován důkladnějšímu úvodu do teorie pravděpodobnosti na úrovni teorie míry a to jak pro diskrétní modely a spojitá rozložení, tak pro obecná rozložení náhodných veličin. Probrány jsou příklady rozdělení včetně vícerozměrného Gaussova rozdělení a jejich vlastnosti. Dále neintegrální i integrální charakteristiky veličin (E,D...), typy konvergencí v prostoru náhodných veličin (Lp, P, s.j., D) a jsou odvozeny různé varianty limitních vět (ZVČ, CLT).

Požadavky:

01MAA3-4 nebo 01MAAB3-4.

Osnova přednášek:

1. Axiomy pravděpodobnostního prostoru, sigma-algebry, pravděpodobnostní míra.

2. Závislé a nezávislé jevy. Borelovské množiny, měřitelné funkce, náhodné veličiny a rozdělení pravděpodobnosti.

3. Radon-Nikodymova věta. Diskrétní a absolutně spojitá rozdělení, příklady.

4. Produktivní míra, integrál podle pravděpodobnostní míry.

5. Střední hodnota náhodné veličiny, obecné a centrální momenty.

6. Prostory Lp, Schwarzova nerovnost, Čebyševova nerovnost, kovariance.

7. Charakteristická funkce a její vlastnosti, použití, reprodukční vlastnosti rozdělení.

8. Konvergence skoro jistě, podle středu, podle pravděpodobnosti.

9. Zákony velkých čísel (Čebyšev, Kolmogorov,...).

10. Slabá konvergence, její vlastnosti, Lévyho věta, Slutskyho lemma.

11. Centrální limitní věty, Lindeberg-Fellerův základní CLT, charakterizační Lindebergova podmínka, Berry-Esseenova věta.

12. Vícerozměrné normální rozdělení, vlastnosti.

13. Cochranova věta a nezávislost výběrového průměru a rozptylu, populace, přirozená prodloužení, konstrukce posloupnosti nezávislých pozorování.

Osnova cvičení:

Řešení úloh a cvičení z oblastí:

1. Axiomy pravděpodobnostního prostoru.

2. Závislé a nezávislé jevy.

3. Konkrétní diskrétní rozdělení, jejich vlastnosti (Binomické, Poissonovo, Pascalovo, Geometrické, Hypergeometrické, Multinomické rozdělení).

4. Konkrétní absolutně spojitá rozdělení, jejich vlastnosti (Rovnoměrné, Gamma, Beta, Normální, Exponenciální,...).

5. Konstrukce nových rozdělení transformacemi (Studentovo, Chi-kvadrát, Fisher-Snedecerovo) a jejich kvantily.

6. Výpočet charakteristických funkcí, středních hodnot a momentů konkrétních rozdělení.

7. Kovariance a korelace vybraných veličin.

8. Zákony velkých čísel a Centrální limitní věty - asymptotika a ukázky použití.

9. Dvourozměrné normální rozdělení.

Cíle studia:

Znalosti:

Pojmy a souvislosti v následujících oblastech: Pravděpodobnostní míra, jevy, náhodné veličiny, rozdělení pravděpodobnosti, střední hodnota, kovariance, charakteristická funkce, konvergence, limitní věty, vícerozměrné normální rozdělení.

Schopnosti:

Na úrovni teorie míry schopnost zpracovávat základní pravděpodobnostní modely s hlubším pochopením náhodných zákonitostí jak v teoretii tak vzhledem k praktickému použití.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] Rényi A., Teorie pravděpodobnosti, Academia, Praha, 1972.

[2] Taylor J.C., An Introduction to Measure and Probability, Springer, 1997.

Doporučená literatura:

[3] Jacod J., Protter P., Probability Essentials, Springer, 2000.

[4] Schervish M.J., Theory of Statistics, Springer, 1995.

Poznámka:
Rozvrh na zimní semestr 2019/2020:
Rozvrh není připraven
Rozvrh na letní semestr 2019/2020:
Rozvrh není připraven
Předmět je součástí následujících studijních plánů:
Platnost dat k 18. 9. 2019
Aktualizace výše uvedených informací naleznete na adrese http://bilakniha.cvut.cz/cs/predmet5357506.html