Matematika 4

Garant předmětu:

Jan Chleboun

Přednášející:

Michal Beneš

Cvičící:

Michal Beneš, Jan Chleboun, Jan Lamač, Petr Mayer, Ivana Pultarová

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Po připomenutí základních pojmů lineární algebry (matice, determinant, Gaussova eliminace) se věnuje iteračním metodám pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Dále pak metodě sítí a metodě konečných prvků pro numerické řešení úloh založených na diferenciálních rovnicích.

Požadavky:

Alespoň 70% účast na cvičení.

Osnova přednášek:

1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice, Geršgorinova věta.

2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti.

3. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice.

4. 0byčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, problém vlastních čísel a vlastních funkcí.

5. Prostory funkcí, skalární součin funkcí, diferenciální operátory.

6. Variační princip pro 1D úlohy s pozitivně definitním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení.

7. Variační metody pro přibližné řešení (Ritzova metoda, metoda konečných prvků).

8. Poissonova rovnice ve 2D, okrajové podmínky, aplikace, Ritzova metoda, metoda konečných prvků.

9. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy a úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce. Různé okrajové podmínky.

10. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D, Liebmannova iterace (informativně).

11. Vlnová rovnice, numerické řešení metodou sítí, stabilní a nestabilní metoda.

12. Rovnice vedení tepla, numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilní a nestabilní metoda.

13. Rezerva

Osnova cvičení:

Na cvičení se procvičuje látka probraná na přednášce, tj. dle harmonogramu přednášky.

Cíle studia:

Seznámit studující alespoň se základními pojmy a numerickými metodami, které jsou běžné při řešení standardních úloh s diferenciálními rovnicemi.

Studijní materiály:

Elektronické studijní materiály na webové stránce předmětu, např. J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4; J. Chleboun: Matematika 4 - příručka pro přežití; J. Chleboun: Texty k přednáškám

O. Zindulka: Matematika 3, kap. 4, 5, 6; Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2007

K. Rektorys: Matematika 43,Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2001

Poznámka:

Další informace:

Viz https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/magistri/zs

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Stavební inženýrství, obor Konstrukce pozemních staveb (povinný předmět)
• obor Konstrukce a dopravní stavby, zaměření Inženýrské konstrukce (povinný předmět)
• obor Konstrukce a dopravní stavby, zaměření Dopravní stavby (povinný předmět)