Analýza čtená podruhé

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Pojem funkce - vývoj pojmu; klamavý charakter obecnosti pojmu; 'statistické hledisko'; nespojité funkce mají stále dosti 'blízko' spojitým

Limitní přechody - supremum, limsup, lim mají společné schéma; zavedení pojmu filtr; použití filtru na všechny limitní přechody

Problém zavedení délky křivky - klasické zavedení a jeho problémy; pojem křivky v analýze; nutnost zavedení- nových pojmů: rektifikovatelná cesta, křivka; Lebesgueuv přístup (vede k nutnosti zavedení nového pojmu integrálu - Lebesgueuv integrál); funkcionální pohled: délka křivky jako zdola polospojitý funkcionál v prostoru křivek

Teorie integrálu - historický úvod; určení obsahu složitějšího obrazce; snaha nalézt univerzální postup: Cauchyovo pojetí, Riemannovo pojetí; přetrvávající problémy vedou Lebesguea k zavedení nového integrálu; Základní dvě Lebesgueovy myšlenky; Lebesgueova míra a měřitelnost; existence (a zkonstruování) Lebesgueovsky neměřitelných množin (axiom výběru); porovnání Riemannova integrálu s Lebesgueovským a nalezení podstaty odlišnosti; slabé stránky Lebesgueova integrálu; o podstatě pojmu míry; nové perspektivy v teorii integrálu

úvod do symetrií diferenciálních rovnic a jejich užití pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, příp soustav

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a funkcionální analýzy (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, 01FA).

Osnova přednášek:

1. Pojem funkce - vývoj pojmu; klamavý charakter obecnosti pojmu; 'statistické hledisko'; nespojité funkce mají stále dosti 'blízko' spojitým

2. Limitní přechody - supremum, limsup, lim mají společné schéma; zavedení pojmu filtr; použití filtru na všechny limitní přechody

3. Problém zavedení délky křivky - klasické zavedení a jeho problémy; pojem křivky v analýze; nutnost zavedení- nových pojmů: rektifikovatelná cesta, křivka; Lebesgueuv přístup (vede k nutnosti zavedení nového pojmu integrálu - Lebesgueuv integrál); funkcionální pohled: délka křivky jako zdola polospojitý funkcionál v prostoru křivek

4. Teorie integrálu - historický úvod; určení obsahu složitějšího obrazce; snaha nalézt univerzální postup: Cauchyovo pojetí, Riemannovo pojetí; přetrvávající problémy vedou Lebesguea k zavedení nového integrálu; Základní dvě Lebesgueovy myšlenky; Lebesgueova míra a měřitelnost; existence (a zkonstruování) Lebesgueovsky neměřitelných množin (axiom výběru); porovnání Riemannova integrálu s Lebesgueovským a nalezení podstaty odlišnosti; slabé stránky Lebesgueova integrálu; o podstatě pojmu míry; nové perspektivy v teorii integrálu

5. Úvod do symetrií diferenciálních rovnic a jejich užití pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, příp. soustav

Osnova cvičení:

Cíle studia:

Znalosti:

Získání hlubšího vhledu do standardně používaných pojmů jako funkce či teorie integrálu, teorie míry, axiom výběru apod. Dále také nabýt povědomí o možnosti řešit diferenciální rovnice pomocí nalezení jejich symetrií.

Schopnosti:

Hlubší vhled do standardně používaných pojmů jako funkce či teorie integrálu, teorie míry, axiom výběru, řešení diferenciálních rovnic pomocí jejich symetrií

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] L. Vrána - Matematická analyza III. - Diferenciální- pocet, skriptum CVUT

[2] L. Vrána - Matematická analyza IV. - Integrální- pocet, skriptum CVUT, Praha 1998

[4] M. Krbálek, Matematická analyza III (druhé prepracované vydání-), Ceská technika - nakladatelství- CVUT, Praha 2008

[5] M. Krbálek, Matematická analyza IV (druhé prepracované vydání-), Ceská technika - nakladatelství- CVUT, Praha 2009

Doporučená literatura:

[6] W. Rudin - Analyza v komplexním a reálném oboru, Academia, Praha 2003

[7] S. Marcus - Matematická analyza ctená podruhé, Academia, Praha 1976

[8] J.Blank, P. Exner, M. Havlicek - Lineární operátory v kvantové fyzice, UK, Praha 1993

[9] P. Hydon - Symmetry Methods for Differential Equations, Cambridge university press, 2000

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• Matematické inženýrství (volitelný předmět)