Chaotické systémy a jejich analýza

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

Na principech kanonického popisu klasických fyzikálních systémů (aplikací hamiltonovské formulace mechaniky) je vysvětlena základní vize studia velmi obecných vlastností velkých souborů interagujících elementů. Probrány jsou úvodní partie symplektických a ergodických zobrazení mapujících chování fázové transportní funkce ve fázovém diagramu. V hlavní části semestru je probírána teorie náhodných matic s důrazem na analytická odvozování vlastností mikrostruktury jejich spekter (level spacing, hustota spektra, number variance, spektrální rigidita, shluková funkce apod.)

Požadavky:

Základní kurzy matematické analýzy a lineární algebry (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAB234, 01LA1, 01LAB2).

Osnova přednášek:

Dynamika diferenciálních rovnic: vybrané speciální funkce, řešení diferenciálních rovnic po kvadraturách, dynamika ve fázové rovině, analýza lineární stability systému, fixní body, limitní cykly, neautonomní systémy. Hamiltonova dynamika: Lagrangeova funkce a její vlastnosti, Hamiltonova formulace mechaniky, Hamiltonovy rovnice, Poissonovy závorky, kanonické transformace, optimální transformace, proměnné akce-úhel, integrabilní hamiltoniány, příklady integrabilních systémů. Klasická poruchová teorie: elementární poruchová teorie, regulární poruchové řady pro diferenciální rovnice, teorie kanonických poruch, problém malých dělitelů, Kolmogorovův-Arnoldův-Moserův teorém, superkonvergentní poruchová teorie, invarianty KAM teorému. Chaos v hamiltonovských systémech: rovina řezu fázového prostoru, Henonův-Heilesův hamiltonián, Todova mříž, rovina řezu jako symplektický mapping, mappingy zachovávající plochu, Poincarého-Birkhoffův teorém o fixním bodě, homoklinické a heteroklinické body, kritéria pro lokální chaos, Lyapunovovy exponenty, kritéria pro počátek rozšířeného chaosu, statistické pojmy v silně chaotických systémech, ergodicita, mísení, pekařská transformace, Bernoulliho systémy. Numerické simulace chaotických systémů: implicitní numerické metody, schémata symplektických metod.

Osnova cvičení:

1. Analýza diferenciálních rovnic.

2. Hamiltonova formulace mechaniky.

3. Poruchová teorie.

4. Chaos v hamiltonovských systémech.

5. Numerické simulace chaotických systémů.

Cíle studia:

Znalosti:

Analýza lineární stability vybraného systému, aplikace poruchové teorie, znaky rozšířeného chaosu, numerická analýza chaotického systému.

Schopnosti:

Samostatná analýza lineární stability vybraného systému.

Studijní materiály:

Povinná literatura:

[1] M. Tabor, Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction, Wiley-Interscience, 1989,

[2] F. Haake, Quantum Signatures of Chaos, Springer 2000

Doporučená literatura:

[3] H.J. Korsch, H.J. Jodl, Chaos, Columbia University, Springer-Verlag, Berlin, 1999

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: