Matematika

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

institut pedagogických a psychologických studií

Anotace:

Základy lineární algebry - vektory, vektorové prostory, matice, determinanty, soustavy lineárních rovnic. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - limita, spojitost, derivace, monotonie, lokální a absolutní extrémy,konvexnost, vyšetření průběhu funkce, graf.

Integrální počet funkcí jedné proměnné - neurčitý integrál, metody integrace, určitý integrál a jeho aplikace.

Numerický výpočet integrálu.

Požadavky:

Osnova přednášek:

1. Vektorový prostor, lineární závislost a nezávislost vektorů, dimenze, báze, podprostor.

2. Matice, operace s maticemi. Hodnost matice. Regulární a singulární matice. Inverzní matice.

Determinant, jeho vlastnosti a výpočet.

3. Soustava lineárních algebraických rovnic. Frobeniova věta. Existence a počet řešení soustavy.

Gaussova eliminační metoda, Cramerovo pravidlo.

4. Posloupnost reálných čísel. Posloupnost omezená, monotónní. Vybraná posloupnost. Limita

posloupnosti. Věty o limitách posloupností, použití při výpočtu limit.

5. Funkce jedné reálné proměnné, definiční obor, obor hodnot, graf. Zúžení (restrikce) funkce.

Funkce složená, inverzní, omezená, monotónní.

6. Elementární funkce, vyšetření jejich průběhu: funkce konstantní, lineární, kvadratická, mocninná, exponenciální, logaritmická, goniometrické, cyklometrické.

7. Limita funkce (vlastní i nevlastní). Limita zprava a zleva. Věty o limitách funkcí, použití při výpočtu limit. Spojitost funkce. Věty o spojitosti funkcí, spojitost funkce složené a inverzní. Vlastnosti spojitých funkcí na omezeném uzavřeném intervalu.

8. Derivace funkce. Geometrická a fyzikální interpretace. Rovnice tečny ke grafu funkce. Věty o derivaci funkcí. Vzorce pro derivace elementárních funkcí, jejich odvození. Derivace vyšších řádů. Diferenciál funkce v bodě.

9. L'Hospitalovo pravidlo. Věty o souvislosti znaménka první derivace a průběhu funkce. Lokální a globální extrémy. Vyšetření extrémů funkcí.

10. Konvexní a konkávní funkce. Inflexní bod. Věty o souvislosti znaménka druhé derivace a konvexnosti (konkávnosti) funkce. Asymptoty. Vyšetření průběhu konkrétní funkce.

11. Primitivní funkce, její existence, neurčitý integrál. Základní (tzv. tabulkové) neurčité integrály.

Věta o integraci per-partes. Věta o integraci substitucí. Výpočet neurčitých integrálů.

12. Integrace racionální funkce s polynomem stupně nejvýše 3 ve jmenovateli: rozklad racionální funkce, integrace parciálních zlomků.

13. Riemannův integrál, výpočet. Newtonova-Leibnizova formule. Metoda per-partes a substituční metoda pro Riemannův integrál. Střední hodnota funkce na intervalu. Aplikace Riemannova integrálu: obsah plochy, objem rotačního tělesa, délka křivky. Riemannův integrál jako funkce horní meze. Nevlastní Riemannův integrál.

Osnova cvičení:

1. Vektorový prostor, lineární závislost a nezávislost vektorů, dimenze, báze, podprostor.

2. Matice, operace s maticemi. Hodnost matice. Regulární a singulární matice. Inverzní matice.

Determinant, jeho vlastnosti a výpočet.

3. Soustava lineárních algebraických rovnic. Frobeniova věta. Existence a počet řešení soustavy.

Gaussova eliminační metoda, Cramerovo pravidlo.

4. Posloupnost reálných čísel. Posloupnost omezená, monotónní. Vybraná posloupnost. Limita posloupnosti. Věty o limitách posloupností, použití při výpočtu limit.

5. Funkce jedné reálné proměnné, definiční obor, obor hodnot, graf. Zúžení (restrikce) funkce.

Funkce složená, inverzní, omezená, monotónní.

6. Elementární funkce, vyšetření jejich průběhu: funkce konstantní, lineární, kvadratická, mocninná, exponenciální, logaritmická, goniometrické, cyklometrické.

7. Limita funkce (vlastní i nevlastní). Limita zprava a zleva. Věty o limitách funkcí, použití při výpočtu limit. Spojitost funkce. Věty o spojitosti funkcí, spojitost funkce složené a inverzní. Vlastnosti spojitých funkcí na omezeném uzavřeném intervalu.

8. Derivace funkce. Geometrická a fyzikální interpretace. Rovnice tečny ke grafu funkce. Věty o derivaci funkcí. Vzorce pro derivace elementárních funkcí, jejich odvození. Derivace vyšších řádů. Diferenciál funkce v bodě.

9. L'Hospitalovo pravidlo. Věty o souvislosti znaménka první derivace a průběhu funkce. Lokální a globální extrémy. Vyšetření extrémů funkcí.

10. Konvexní a konkávní funkce. Inflexní bod. Věty o souvislosti znaménka druhé derivace a konvexnosti (konkávnosti) funkce. Asymptoty. Vyšetření průběhu konkrétní funkce.

11. Primitivní funkce, její existence, neurčitý integrál. Základní (tzv. tabulkové) neurčité integrály.

Věta o integraci per-partes. Věta o integraci substitucí. Výpočet neurčitých integrálů.

12. Integrace racionální funkce s polynomem stupně nejvýše 3 ve jmenovateli: rozklad racionální funkce, integrace parciálních zlomků.

13. Riemannův integrál, výpočet. Newtonova-Leibnizova formule. Metoda per-partes a substituční metoda pro Riemannův integrál. Střední hodnota funkce na intervalu. Aplikace Riemannova

integrálu: obsah plochy, objem rotačního tělesa, délka křivky. Riemannův integrál jako funkce horní meze. Nevlastní Riemannův integrál.

Cíle studia:

Naučit se základům lineární algebry a matematické analýzy funkcí jedné reálné proměnné

Studijní materiály:

Neustupa J.: Matematika I (skriptum fakulty strojní). Vydavatelství ČVUT, Praha 2008.

Neustupa J., Kračmar S.: Sbírka příkladů z matematiky I (skriptum fakulty strojní). Vydavatelství ČVUT, Praha 2006.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů:

• B-EK-prez.forma od 10/11 (povinný předmět)
• B-EK-prez.forma od 11/12 (povinný předmět)
• B-EK-prez.forma od 12/13 (povinný předmět)
• B-EK-prez.forma od 13/14 (povinný předmět)
• B-EK-prez.forma od 14/15 (povinný předmět)