Logo ČVUT
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
STUDIJNÍ PLÁNY
2021/2022

Lineární algebra

Přihlášení do KOSu pro zápis předmětu Zobrazit rozvrh
Kód Zakončení Kredity Rozsah Jazyk výuky
11LA Z,ZK 3 2P+1C+10B česky
Přednášející:
Martina Bečvářová (gar.), Lucie Kárná (gar.)
Cvičící:
Martina Bečvářová (gar.), Lucie Kárná (gar.), Pavel Provinský (gar.)
Předmět zajišťuje:
ústav aplikované matematiky
Anotace:

Vektorové prostory (lineární kombinace vektorů, závislost vektorů, dimenze, báze, souřadnice). Matice a maticové operace. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení. Determinanty a jejich aplikace. Skalární součin vektorů. Podobnost matic (vlastní čísla a vlastní vektory). Kvadratické formy a jejich klasifikace.

Požadavky:

základy středoškolské matematiky

Osnova přednášek:

1. Vektorový prostor nad tělesem R a C, příklady prostorů. Podprostory vektorového prostoru, příklady podprostorů. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů, příklady. Průnik a spojení podprostorů.

2. Generátory vektorového prostoru, lineární obal množiny vektorů, dimenze a báze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi. Transformace souřadnic.

3. Matice. Základní maticové operace a jejich vlastnosti. Transponování matic. Speciální typy matic a jejich vlastnosti (diagonální, trojúhelníková, symetrická, antisymetrická, hermitovská). Vektorový prostor matic. Matice jako lineární zobrazení.

4. Elementární transformační úpravy. Hodnost matice. Matice singulární, regulární, inverzní matice. Výpočet inverzní matice.

5. Soustava lineárních homogenních rovnic. Struktura řešení. Soustava nehomogenních lineárních rovnic. Existence řešení. Struktura řešení. Gaussova eliminační metoda. Soustavy lineárních rovnic s parametry a jejich řešitelnost. Maticové rovnice.

6. Determinant. Definice determinantu, vlastnosti determinantu. Základní metody výpočtu determinantu. Rozvoj determinantu.

7. Užití determinantů. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice, hodnosti matice, obsahu rovnoběžníku, objemu čtyřstěnu a rovnoběžnostěnu. Příklady.

8. Skalární součin vektorů, velikost vektoru, úhel vektorů. Ortogonální a ortonormální báze. Ortogonalizační proces. Ortogonální matice. Vektorový součin. Příklady použití skalárního a vektorového součinu v analytické geometrii.

9. Podobnost matic, vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory. Řešení vzorových příkladů.

10. Transformační matice. Jordanova buňka, Jordanův kanonický tvar. Řešení vzorových pří-klady.

11. Kvadratické formy. Maticová reprezentace. Vyjádření vzhledem k normální bázi. Symetrické úpravy matic. Řešení vzorových příkladů.

12. Klasifikace forem, signatura formy, zákon setrvačnosti. Metody klasifikace forem v reálném oboru (symetrické úpravy, metoda hlavních horních minorů, transformace). Řešení vzorových příkladů.

Osnova cvičení:

1. Příklady vektorových prostorů a podprostorů. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů.

2. Generátory vektorového prostoru, dimenze a báze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi.

3. Matice, operace s maticemi. Transponování matic. Elementární transformační úpravy. Hodnost matice. Speciální typy matic a jejich vlastnosti.

4. Inverzní matice. Maticové rovnice.

5. Soustava lineárních homogenních rovnic. Soustava nehomogenních lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda. Soustavy lineárních rovnic s parametry a jejich řešitelnost.

6. Metody výpočtu determinantu. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice, obsah rovnoběžníku, objem čtyřstěnu a rovnoběžnostěnu.

Vzorové příklady k látce z přednáškových bodů 9 až 12 budou probírány na přednáškách.

Cíle studia:

Osvojení základních pojmů a metod lineární algebry a jejich aplikace při řešení standardních příkladů.

Studijní materiály:

J. Nagy, J. Taufer, Algebra, ČVUT, Praha, 1997, skriptum FD ČVUT.

J. Bečvář, Lineární algebra, Matfyzpress, Praha, 2000.

L. Motl, M. Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, UK, Karolinum, Praha, 1995.

http://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Linearni%20algebra.html.

Poznámka:
Další informace:
https://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Linearni%20algebra.html
Rozvrh na zimní semestr 2021/2022:
Rozvrh není připraven
Rozvrh na letní semestr 2021/2022:
Rozvrh není připraven
Předmět je součástí následujících studijních plánů:
Platnost dat k 29. 11. 2021
Aktualizace výše uvedených informací naleznete na adrese http://bilakniha.cvut.cz/cs/predmet1453606.html