Metoda konečných prvků

Garant předmětu:

Přednášející:

Cvičící:

Předmět zajišťuje:

ústav technické matematiky

Anotace:

Matematická teorie metody konečných prvků. Vektorový, Banachův a Hilbertův prostor. Metrika, norma, lineární forma, bilineární forma, skalární součin. Holderova a Cauchyho nerovnost. Lax-Milgramova věta. L2 a Lp prostory, oblast se spojitou hranicí, s Lipschitzovsky spojitou hranicí. Prostory H1 a Wkp. Věty o vnoření, věty o stopách, nerovnost Poincare-Friedrichsova. Greenova věta. Věta o substituci. Duální prostor, reflexivita.

Základní princip metody konečných prvků. Ukázka použití v jednorozměrné eliptické úloze. Souvislost slabého a klasického řešení. Odhady chyb. Abstraktní variační formulace. Ritzova formulace. Galerkinova formulace. Věta o ekvivalenci. Existence a jednoznačnost řešení. Diskrétní Ritzova a Galerkinova formulace. Existence diskrétního řešení (vlastnosti matice tuhosti). Abstraktní odhad chyby.

Aplikace MKP na dvourozměrnou úlohu: Dirichletova úloha s homogenní okrajovou podmínkou. Slabá formulace. Řešení na jednoduché oblasti pomocí lineárních konečných prvků. Výpočet a sestavení matice tuhosti. Slabá formulace 2D problémů s různými okrajovými podmínkami: Dirichletovy, Neumannovy okr. podmínky. Vlastnosti slabé formulace. Konstrukce prostoru konečných prvků a volba báze. Matice tuhosti prvku a globální matice tuhosti; podstata algoritmizace, zobrazení na referenční trojúhelník, sestavení globální matice tuhosti.

Řešení diskrétní úlohy - soustavy lineárních rovnic. Přímé metody. Iterační metody. Gradientní metody. Předpodmiňování.

Aplikace metody konečných prvků: rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, problém konvekce-difuze, lineární problém pružnosti, Stokesův problém a Navierovy-Stokesovy rovnice.

Požadavky:

Osnova přednášek:

Matematická teorie metody konečných prvků. Vektorový, Banachův a Hilbertův prostor. Metrika, norma, lineární forma, bilineární forma, skalární součin. Holderova a Cauchyho nerovnost. Lax-Milgramova věta. L2 a Lp prostory, oblast se spojitou hranicí, s Lipschitzovsky spojitou hranicí. Prostory H1 a Wkp. Věty o vnoření, věty o stopách, nerovnost Poincare-Friedrichsova. Greenova věta. Věta o substituci. Duální prostor, reflexivita.

Základní princip metody konečných prvků. Ukázka použití v jednorozměrné eliptické úloze. Souvislost slabého a klasického řešení. Odhady chyb. Abstraktní variační formulace. Ritzova formulace. Galerkinova formulace. Věta o ekvivalenci. Existence a jednoznačnost řešení. Diskrétní Ritzova a Galerkinova formulace. Existence diskrétního řešení (vlastnosti matice tuhosti). Abstraktní odhad chyby.

Aplikace MKP na dvourozměrnou úlohu: Dirichletova úloha s homogenní okrajovou podmínkou. Slabá formulace. Řešení na jednoduché oblasti pomocí lineárních konečných prvků. Výpočet a sestavení matice tuhosti. Slabá formulace 2D problémů s různými okrajovými podmínkami: Dirichletovy, Neumannovy okr. podmínky. Vlastnosti slabé formulace. Konstrukce prostoru konečných prvků a volba báze. Matice tuhosti prvku a globální matice tuhosti; podstata algoritmizace, zobrazení na referenční trojúhelník, sestavení globální matice tuhosti.

Řešení diskrétní úlohy - soustavy lineárních rovnic. Přímé metody. Iterační metody. Gradientní metody. Předpodmiňování.

Aplikace metody konečných prvků: rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, problém konvekce-difuze, lineární problém pružnosti, Stokesův problém a Navierovy-Stokesovy rovnice.

Osnova cvičení:

Základní princip. Matematické základy. Slabá formulace okrajové úlohy. Aproximační teorie. Variační metody. Soustavy lineárních rovnic. Rovnice vedení tepla. Vlnová rovnice. Mechanika tekutin.

Cíle studia:

Matematická teorie metody konečných prvků. Vektorový, Banachův a Hilbertův prostor. Metrika, norma, lineární forma, bilineární forma, skalární součin. Holderova a Cauchyho nerovnost. Lax-Milgramova věta. L2 a Lp prostory, oblast se spojitou hranicí, s Lipschitzovsky spojitou hranicí. Prostory H1 a Wkp. Věty o vnoření, věty o stopách, nerovnost Poincare-Friedrichsova. Greenova věta. Věta o substituci. Duální prostor, reflexivita.

Základní princip metody konečných prvků. Ukázka použití v jednorozměrné eliptické úloze. Souvislost slabého a klasického řešení. Odhady chyb. Abstraktní variační formulace. Ritzova formulace. Galerkinova formulace. Věta o ekvivalenci. Existence a jednoznačnost řešení. Diskrétní Ritzova a Galerkinova formulace. Existence diskrétního řešení (vlastnosti matice tuhosti). Abstraktní odhad chyby.

Aplikace MKP na dvourozměrnou úlohu: Dirichletova úloha s homogenní okrajovou podmínkou. Slabá formulace. Řešení na jednoduché oblasti pomocí lineárních konečných prvků. Výpočet a sestavení matice tuhosti. Slabá formulace 2D problémů s různými okrajovými podmínkami: Dirichletovy, Neumannovy okr. podmínky. Vlastnosti slabé formulace. Konstrukce prostoru konečných prvků a volba báze. Matice tuhosti prvku a globální matice tuhosti; podstata algoritmizace, zobrazení na referenční trojúhelník, sestavení globální matice tuhosti.

Řešení diskrétní úlohy - soustavy lineárních rovnic. Přímé metody. Iterační metody. Gradientní metody. Předpodmiňování.

Aplikace metody konečných prvků: rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, problém konvekce-difuze, lineární problém pružnosti, Stokesův problém a Navierovy-Stokesovy rovnice.

Studijní materiály:

[1] Petr Sváček, Miloslav Feistauer: Metoda konečných prvků, Vydavatelství ČVUT 2006, připravuje se.

[2] C.Johnson: Numerical Solution of Partial Differential Equation by the Finite Element Method, Cambridge University Press, 1987, ISBN 0-521-34758-0.

[3] E.Vitásek: Základy teorie numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic, Academia, Praha, 1994, ISBN 80-200-0281-2.

Poznámka:

Další informace:

Pro tento předmět se rozvrh nepřipravuje

Předmět je součástí následujících studijních plánů: