Vybrané kapitoly z matematiky

Přednášející:

Miroslav Dont (gar.)

Cvičící:

Miroslav Dont (gar.)

Předmět zajišťuje:

katedra matematiky

Anotace:

První část přednášky je věnována některým partiím maticové analýzy,

především vlastnostem matic, které souvisí s vlastními čísly a

vlastními vektory matic. Je to např. pojem podobnosti matic,

spektrální rozklad matic a singulární rozklad matic a jeho užití. Ve

druhé části je vysvětlen pojem parciální diferenciální rovnice a

okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice. Fourierova

metoda je předvedena na některých konkrétních okrajových úlohách s

použitím speciálních funkcí, zvláště Besselových a Legendreových

sférických funkcí.

Požadavky:

Požadavkem k udělení zápočtu je aktivní účast na cvičení. Požadavky ke zkoušce budou upřesněny během přednášky.

Osnova přednášek:

Část I - maticová analýza

1. Opakování základních pojmů lineární algebry. Algebra matic, násobení matic, blokově rozdělené matice.

2. Skalární součin, norma vektoru, Grammova-Schmidtova ortogonalizace.

3. Hermitovské, unitární a reálné ortonormální matice.

4. Charekteristická čísla a vektory matice. Podobnost matic, diagonalizovatelné matice.

5. Věta o spektrálním rozkladu pro hermitovské matice. Schurův rozklad a normální matice. Definitnost matic.

6. Diskrétní Fourierova transformace, Fourierova matice, princip rychlé Fourierovy transformace.

7. Singulární rozklad matice, metoda nejmenších čtverců, Moore-Penroseova pseudoinverzní matice.

Část II - parc. dif. rovnice a Fourierova metoda

8. Pojem parciální diferenciální rovnice, rovnice druhého řádu,vlnová rovnice, rovnice vedení tepla, Laplaceova a Poissonova rovnice. Okrajové úlohy.

9. Kmity struny konečné délky, kmity obdélníkové membrány, Fourierova metoda pro tyto úlohy.

10. Vlnová rovnice v cylindrických souřadnicích, Besselova rovnice a Besselovy funkce.

11. Fourierovy-Besselovy řady a Dini-Besselovy řady. Řešení úlohy o kmitech kruhové membrány.

12. Úlohy se sférickou symetrií, Legendreova rovnice, Legendreovy sférické funkce.

13. Řešení některých okrajových úloh pomocí sférických funkcí.

Osnova cvičení:

Část I

1. Prostory R^n a C^n, lineární podprostory, báze dimenze.

2. Skalární součin, Grammova-Schmidtova ortogonalizace.

3. Násobení matic, blokově rozdělené matice, soustavy lineárních

rovnic.

4. Vlastní čísla a vlastní vektory matice.

5. Diagonalizovatelné matice.

6. Unitární a ortogonální diagonalizace hermitovských a reálných

symetrických matic.

7. Pozitivně definitní a semidefinitní matice.

8. Singulární rozklad a metoda nejmenších čtverců.

Část II

9. Parciální diferenciální rovnice a některé okrajové úlohy.

10. Fourierova metoda pro úlohu o kmitech struny a jednorozměrnou

rovnici vedení tepla.

11. Kmity obdélníkové membrány a dvojné Fourierovy řady.

12. Kmity kruhové membrány, Besselovy funkce.

13. Úlohy se sférickou symetrií a sférické funkce.

Cíle studia:

Studijní materiály:

1. M. Dont: Maticová analýza, Nakl. ČVUT, 2011.

2. D. C. Meyer: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM 2000.

3. M. Dont: Úvod do parciálních diferenciálních rovnic, Nakl. ČVUT, druhé přeprac. vydání 2008.

4. E. A. Gonzáles-Velasco: Fourier Analysis and Boundary Value Problems, Academic Press 1995.

Poznámka:

Rozvrh na zimní semestr 2011/2012:

	06:00–08:0008:00–10:0010:00–12:0012:00–14:0014:00–16:0016:00–18:0018:00–20:0020:00–22:0022:00–24:00
Po
Út	místnost T2:E1-103a Dont M. 12:45–14:15 (přednášková par. 1) Dejvice haly Cvičebna
St	místnost T2:A4-202b Dont M. 14:30–16:00 (přednášková par. 1 paralelka 101) Dejvice Učebna
Čt	místnost T2:C4-364 Dont M. 12:45–14:15 (přednášková par. 1) Dejvice Cvicebna
Pá

Rozvrh na letní semestr 2011/2012:

Rozvrh není připraven

Předmět je součástí následujících studijních plánů: